Вурне лежат 4 белых и 8 черных шаров. вынули одновременно 3 шара. какова вероятность, что все вытянутые шары белые?

Вероятность - отношение числа благоприятных событий к числу всех событий. всего существует 12*11*10/3! =220 способов вытащить 3 шара из 12, если порядок нам неважен. кроме того, существует 4 способа вытащить 3 белых шара из 4 возможных. значит, вероятность будет равна 4/220=1/55.

а) да, например, первый набрал 100  , второй 70, третий –  10. средний , не сдавших тест, первоначально был  (70+10)/2 = 40, а после добавления по 5 очков каждому участнику стало 105, 75 и 15, тогда средний , не сдавших тест, составил  15,  так как 75 достаточно для сдачи теста.

б)  в примере предыдущего пункта средний участников теста, сдавших тест, сначала был 100 , а после добавления стал  (105+75)/2 = 90  .

в)  судя по условию, здесь немного другое условие. ученик считается сдавшим тест, если он набрал 83 .

пусть из  n  участников сдали тест  a  участников, после добавления стало b  участников, сдавших тест. заметим, что средний после добавления составил (90n + 5n)/n = 95.

имеем два уравнения:

{ 90n  = 75(n  -  a) + 100a = 75n   - 75a + 100a = 75n + 25a

{ 95n  = 79(n - b) + 103b   = 79n - 79b + 103b = 79n + 24b

откуда  

{ 15n  = 25a, то есть 3n  = 5a

{ 16n  = 24b, то есть 2n  = 3b  

таким образом,  n  кратно 15, потому что делится на 3 и на 5.

покажем, что  минимальное n  = 15. пусть изначально 5 участников набрали по 74 , 1 участник — 80 и 9 участников по 100 .

тогда средний был (5*74+80+9*100)/15 = 1350/15 = 90, средний сдавших тест, был 100, а средний не сдавших тест, был (5*74+80)/6 = 450/6 = 75.

после добавления стало: 5 участников по 79 , 1 участник — 85 и 9 участников по 105 .

теперь средний участников всех участников стал (5*79+85+9*105)/15 = 1425/15 = 95, средний сдавших тест, стал равен (85+9*105)/15 = 1030/10 = 103, средний не сдавших тест, стал равен 79.

таким образом, все условия выполнены.

Решение 1. допустим, что петя взял только 12-листовые тетрадки. тогда у него должно было оказаться 12*5=60 листов. не  хватает 18 листов. каждая 18-листовая тетрадка даёт дополнительных 6 листов по отношению к 12-листовой. чтобы восполнить недостаток листов, нам потребуется заменить 3 12-листовых тетрадок на 3 18-листовых. итого у нас получится 3 18-листовых тетрадки и 2 12-листовых. проверяем: 2*12+3*18 = 24+54 = 78. решение 2. обозначим число 12-листовых тетрадок за x, а число 18-листовых тетрадок за y. тогда x+y=5, т.к. петя взял 5 тетрадок. при этом  к-во полученных листов петей будет равно 12*x+18*y. приравняем это число 78. 12x+18y=78 6(2x+3y)=78 2x+3y=13 т.к. x+y=5, то x=5-y. 2(5-y)+3y=13 10-2y+3y=13 y=3 x=2 проверяем: 2*12+3*18 = 24+54 = 78. ответ: петя взял две 12-листовых и 3 18-листовых тетрадки.