Вмагазине было 200 книг, 45% которых продались в первую неделю.сколько книг осталось в магазине?

100% - 200 книг. 45% - ? книг. 1) 100%-45%=55% - осталось в магазине. находим пропорцией: 2)  (книг) - продались в первую неделю (45%). 3) 200-90=110(книг) - осталось в магазине. ответ:   110 книг осталось в магазине.

Линейные уравнения ах = b, где а ≠ 0; x=b/a.

Пример 1. Решите уравнение – х + 5,18 = 11,58.

       – х + 5,18 = 11,58;

       – х = – 5,18 + 11,58;

       – х = 6,4;

       х = – 6,4.

    ответ: – 6,4.

 

Пример 2. Решите уравнение 3 – 5(х + 1) = 6 – 4х.

       3 – 5(х + 1) = 6 – 4х;

       3 – 5х – 5 = 6 – 4х;

       – 5х + 4х = 5 – 3+6;

       – х = 8;

       х = – 8.

    ответ: – 8.

Пример 3. Решите уравнение .

       . Домножим обе части равенства на 6. Получим уравнение, равносильное исходному.

       2х + 3(х – 1) = 12; 2х + 3х – 3 =12; 5х = 12 + 3; 5х = 15; х = 3.

    ответ: 3.

 

Пример 4. Решите систему  

       Из уравнения 3х – у = 2 найдём у = 3х – 2 и подставим в уравнение 2х + 3у = 5.

       Получим: 2х + 9х – 6 = 5; 11х = 11; х = 1.

       Следовательно, у = 3∙1 – 2; у = 1.

    ответ: (1; 1).

Замечание. Если неизвестные системы х и у, то ответ можно записать в виде координаты точки.

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0, где а ≠ 0.

        D = b2 – 4ac;

        ;

        нет решения при D < 0.

При решении квадратных уравнений полезно помнить формулу чётного коэффициента, т.е. случай, когда b = 2k или k =b/2:

        

.

    х2 + px + q = 0 – приведённое квадратное уравнение. Для него справедлива теорема Виета:

   



    где х1 и х2 – корни уравнения.

Пример 5. Решите уравнение 3у + у2 = у.

        3у + у2 = у – неполное квадратное уравнение; у2 + 3у – у = 0;

        у2 + 2у =0; у∙(у + 2) = 0.

Помните! Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, но второй при этом имеет смысл.

        y1 = 0, или  у + 2 = 0;

        у2 = – 2.

    ответ: – 2; 0.

Пример 6. Решите уравнение 18 – х2 = 14.

        18 – х2 = 14 – неполное квадратное уравнение; – х2 = 14 – 18;

        – х2 = – 4; х2 =4; х = ± 2.

    ответ: ± 2.

Пример 7. Решите уравнение х2 + 6х – 3 = 2х3.

        х2 + 6х – 3 = 2х3 – уравнение 3-ей степени. Оно решается разложением на множители: х2 – 2х3 + 6х – 3 = 0;

        – х2(2х – 1 ) + 3(2х – 1) = 0;

        (2х – 1)(3 – х2) = 0;

        2х – 1 = 0 или 3 – х2 =0;

        х1 = 0,5; х2,3 =.

    ответ: 0,5; .

Пример 8. Решите уравнение (х2 – 5х)2 – 30 (х2 – 5х) – 216 = 0.

        (х2 – 5х)2 – 30 (х2 – 5х) – 216 = 0 – биквадратное уравнение. Такое уравнение решается методом подстановки.

    

Замечание. Метод подстановки позволяет перейти к уравнению, равносильному данному.

        Пусть х2 – 5х = t. Тогда уравнение примет вид t2 – 30t – 216 = 0;

        

        

        x2 – 5х = – 6 или х2 – 5х = 36;

        х2 – 5х + 6 = 0 или х2 – 5х – 36 =0.

        По теореме Виета:

        х1 = 2, х2 = 3, х3 = – 4, х4 =9.

    ответ: – 4, 2, 3, 9.

Пример 9. Вычислить наибольший корень уравнения  х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0.

        х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0 │: х2 (х ≠ 0)

        

        

        t2 – 2 – 7t + 14 = 0;    

        t2 – 7t + 12 = 0

        х2 – 3х + 1 = 0              или      х2 – 4х + 1 = 0;

        D = 9 – 4 = 5,                      D = 16 – 4 = 12

        x1 и х3 – меньшие корни. Остаётся сравнить х2 и х4

Пример 10. Найти все целые решения системы уравнений

  Решаем уравнение 2(х + у)2 + (х + у) = 21.

Пусть х + у = t. Тогда получим 2t2 + t – 21 = 0; t1 =-7/2  ; t2 = 3.

x + у = -7/2  не удовлетворяет условию задачи, так как хотя бы одно из слагаемых в данной сумме будет нецелым числом.

x + у = 3 – удовлетворяет условию.

Решением системы будут (1; 2) или (2; 1).

ответ: (1; 2), (2; 1).

Из условия следует, что если мальчик не проигрывает в игре, то у него становится вдвое больше камешков, чем было до начала игры. таким образом, после четвертой игры у мальчиков a,  b и c стало вдвое больше камешков, чем было после третьей игры. значит, после третьей игры у них было по  48/2=24 камешка. поскольку всего камешков 48*4=192, у мальчика d после третьей игры было 192-24*3=120 камешков. аналогично, после третьей игры у мальчиков a,b и d стало вдвое больше камешков, чем было после второй игры. значит, после второй игры у мальчиков a и b было 24/2=12 камешков, а у мальчика d было 120/2=60 камешков. тогда у мальчика c было 192-12*2-60=108 камешков. после первой игры у мальчика a было 12/2=6 камешков, у мальчика c было 108/2=54 камешка, у мальчика d было 60/2=30 камешков. тогда у мальчика b было 192-6-54-30=102 камешка. первоначально у мальчика b был 102/2=51 камешек, у мальчика c было 54/2=27 камешков, у мальчика d было 30/2=15 камешков. тогда у мальчика a было 192-51-27-15=99 камешков. ответ: 99, 51, 27, 15 камешков.