Существует ли треугольник у которого длины всех сторон являются целыми числами

Да. прямоугольный триугольник с катетами 3 и 4, гипотенуза 5

Прямоугольный треугольник 

  1800: 90=20(м)- 1 бриг, за 1 день                                                                       1800: 45=40(м)-2 бриг за 1день                                                                             1800: (20+40)=30(дн)-зак, 1+2 бриг,

1. нальем 5л в сосуд v=5л и перельем все в сосуд v=7л; 2. снова нальем 5л в сосуд v=5л и перельем недостающие 2л в сосуд v=7л;   3. из сосуда v=7л выливаем всю воду и переливаем из сосуда v=5л оставшиеся там 3л в сосуд v=7л;   4.  наливаем    5л в сосуд v=5л и перельем недостающие 4л в сосуд v=7л;   5.  из сосуда v=7л выливаем всю воду и переливаем из сосуда v=5л оставшийся там 1л в сосуд v=7л;   6. наливаем    5л в сосуд v=5л и переливаем всю воду  в сосуд v=7л;   там оставался 1л+5л=6литров