)найдите число: 1) треть которого равна 1/2 2) 2/3 которого равны 2/3 3)1/4 которого равна 1/8

1)1/2*3=3/2=1,5 2)2/3: 2*3=1 3)1/8*4=4/8=1/2=0,5

Пусть прогрессия имеет первый член b и знаменатель q. сказано, что она бесконечная и состоит из натуральных чисел. это значит, что прогрессия неубывающая, иначе рано или поздно появились бы дробные члены прогрессии. при этом b и q являются натуральными числами. найдем произведение первых 6 членов прогрессии: b*bq*bq^2*bq^3*bq^4*bq^5=b^6*q^15 b^6*q^15=72^612 b^2*q^5=72^204 b^2*q^5=(2^3*3^2)^204 b^2*q^5=2^612*3^408 так как b и q являются натуральными числами, а справа в уравнении стоит число, в составе которого только степени 2 и 3, то b и q тоже являются числами, в состав которых входят только степени 2 и 3. тогда пусть b=2^a*3^c, q=2^k*3^m. тогда (2^a*3^c)^2*(2^k*3^m)^5=2^612*3^408 2^(2a+5k)*3^(2c+5m)=2^612*3^408 получаем систему уравнений 2a+5k=612, 2c+5m=408, которую надо решить в целых неотрицательных числах. видим, что уравнения однотипные, вида ax+by=c, причем коэффициенты a и коэффициенты b у них соответственно . тогда решим уравнение 2x+5y=c. 2x=c-5y 2x=c+y-2*(3y) это значит, что c+y кратно 2. тогда c+y=2*r y=2*r-c отсюда уже можно вернуться к x: 2x=c-5*(2*r-c) 2x=6c-10r x=3c-5r. так как x и y - целые неотрицательные числа, то на них нужно наложить ограничения: x=3c-5r> =0, y=2r-c> =0 из первого условия получим, что r< =3c/5 из второго условия получим, что r> =c/2 вернемся к более ранней системе уравнений. 1) 2a+5k=612 уравнение имеет решения в виде a=3*612-5r, k=2r-612, а количество решений в целых неотрицательных числах в нем равно количеству целых r в промежутке [с/2; 3c/5]. иными словами, получим промежуток [612/2; 3*612/5] или же [306; 367.2]. целые r в нем - числа от 306 до 367. их количество 367-306+1=62. 2) 2c+5m=408 аналогично получаем промежуток для r [408/2; 3*408/5] =[204; 244.8] количество целых решений равно 244-204+1=41 так как уравнения системы не пересекаются, общее количество решений в виде четверки чисел (a, k, c, m) равно произведению количества решений первого уравнения и второго уравнения. то есть 62*41=2542

Пошаговое объяснение:

Интегрирование по частям

Пусть U(x) и V(x) - дифференцируемые функции. Тогда d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x). Поэтому U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x). Вычисляя интеграл от обеих частей последнего равенства, с учетом того, что ∫d(U(x)V(x))=U(x)V(x)+C, получаем соотношение

Интегрирование по частям

называемое формулой интегрирования по частям. Понимают его в том смысле, что множество первообразных, стоящее в левой части, совпадает со множеством первообразных, получаемых по правой части.

Решение онлайн

Видеоинструкция

С данного онлайн-калькулятора можно вычислять интегралы по частям. Решение сохраняется в формате Word.

infinity

∫

pi

1/2*(x+1)*exp(x)

? dx

ДалееТакже рекомендуется изучить сервис вычисление интегралов онлайн

Применение метода интегрирования по частям

В связи с особенностями нахождения определенных величин, формулу интегрирования по частям очень часто используют в следующих задачах:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Формула для нахождения математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины включает в себя два сомножителя: функцию полинома от x и плотность распределения f(x).

Разложение в ряд Фурье. При разложении необходимо определять коэффициенты, которые находятся интегрированием от произведения функции f(x) и тригонометрической функции cos(x) или sin(x).

Типовые разложения по частям

Вид интеграла Разложения на части

∫Pn(x)cos(ax)dx, ∫Pn(x)sin(ax)dx, ∫Pn(x)eaxdx, где Pn(x) - некоторый полином (многочлен) степени n U(x)=Pn(x), dV(x)=cos(ax)dx

∫ln(P(x))dx U=ln(P(x)); dV=dx

∫arcsin(ax)dx U=arcsin(ax); dV=dx

U=ln(x); dV=dx/x

При использовании формулы интегрирования по частям нужно удачно выбрать U и dV, чтобы интеграл, полученный в правой части формулы находился легче. Положим в первом примере U=ex, dV=xdx. Тогда dU=exdx,  и   Вряд ли интеграл ∫x2exdx можно считать проще исходного.

Иногда требуется применить формулу интегрирования по частям несколько раз, например, при вычислении интеграла ∫x2sin(x)dx.

Интегралы ∫eaxcos(bx)dx и ∫eaxsin(bx)dx называются циклическими и вычисляются с использованием формулы интегрирования по частям два раза.

ПРИМЕР №1. Вычислить ∫xexdx.

Положим U=x, dV=exdx. Тогда dU=dx, V=ex. Поэтому ∫xexdx=xex-∫exdx=xex-ex+C.

ПРИМЕР №2. Вычислить ∫xcos(x)dx.

Полагаем U=x, dV=cos(x)dx. Тогда dU=dx, V=sin(x) и ∫xcos(x)dx=xsin(x) - ∫sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

ПРИМЕР №3. ∫(3x+4)cos(x)dx