Два ребра прямоугольного параллелепипеда выходящие из одной вершины равны 9 и 3 а объем параллелепипеда равен 189 . найдите площадь поверхности этого

Всё решаем по формулам....................

Формула нахождения объема цилиндра V=πr²h=54π.
Выразим высоту h=54/r².
Формула полной поверхности цилиндра S=2πr²+2πrh.
Подставим в эту формулу h:
S=2πr²+2πr*54/r²=2πr²+108π/r.
Представим полученную формулу как функцию площади, тогда минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума. Для нахождения экстремума дифференцируем (находим производную):
S'(r)=4πr-108π/r²;
Приравниваем производную к нулю:
4πr-108π/r²=0;
4πr³=108π;
4r³=108;
r³=27;
r=3 (см).
Находим значение h=54/r²=54/9=6 (см).
Таким образом, минимальная площадь данного цилиндра будет достигнута при r=3 см и h=6 см.
S=2πr(r+h)=2π*3(3+6)=6π*9=54π (см²) 

Суть в следующем. Если функция f(x) имеет экстремумы (минимумы или максимумы, они-же точки перегиба), то в этих точках её первая производная равна нулю. То есть в экстремумах выполняется равенство: f'(x)=0; Решая это уравнение находим значения аргумента (x) при которых f'(x)=0, это и есть точки экстремумов (xэ).
Чтобы определить что это за экстремум (минимум или максимум), надо посмотреть на вторую производную функции в этой точке f''(xэ). Если значение второй производной в точке (xэ), больше нуля, то это минимум функции (возможно локальный), если f''(xэ)<0, то здесь максимум функции (возможно локальный).
Вот, собственно и вся теория.