Дроби 1)3/4-1/1+1/2, 2) 4/9+5/6-3/4, 3)4/15-2/45+7/9, 4)6/7-1/4+5/14, 6)11/12-1/9+1/4, 5) 7/10+9/14-3/35,

1) 3/4 -1/1 +1/2 = 3/4 - 1 + 2/4 = 5/4 -1 = 1/4
2) 4/9 + 5/6 -3/4 = 16/36 +30/36 -27/36 =19/36
3) 4/15 -2/45 +7/9 = 12/45 -2/45 +35/45 = 1
4) 6/7 -1/4 +5/14 =24/28 -7/28 +10/28 = 27/28
5) 7/10 +9/14 - 3/35 = 49/70 +45/70 - 6/70 = 88/70 =1 18/70 = 1 9/35
6) 11/12 -1/9 +1/4 = 33/36 -4/36 + 9/36 = 38/36 =19/18 = 1 1/18

Исходная матрица имеет вид:

 (1;0;0;0;5;1;0;0;2))

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

 (1 - λ)x1 + 0x2 + 0x3 = 0

0x1 + (5 - λ)x2 + 1x3 = 0

0x1 + 0x2 + (2 - λ)x3 = 0

Составляем  уравнение и решаем его:

EQ A = \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (1 - λ;0;0;0;5 - λ;1;0;0;2 - λ)) = 0

λ3 + 8λ2 - 17λ + 10 = 0

Один из корней уравнения равен λ1 = 1

Тогда характеристическое уравнение можно записать как (λ  -1)(λ2 + 7λ - 10)=0.

- λ2 +7 λ - 10 = 0

D = 72 - 4 • (-1) • (-10) = 9

EQ λ1 = \f(-7+3;2•(-1)) = 2

EQ λ2 = \f(-7-3;2•(-1)) = 5

Рассмотрим пример нахождения собственного вектора для λ1.

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

Подставляя λ = 1 в систему, имеем:

0x1 + 0x2 + 0x3 = 0

0x1 + 4x2 + 1x3 = 0

0x1 + 0x2 + 1x3 = 0

Пусть x1 - свободное неизвестное, тогда выразим через него все остальные xi.

 

Пусть х км/ч - скорость Долли, тогда

х + 0,25х = 1,25х км/ч - скорость Полли

Полли потратила на 0,5 ч меньше. Уравнение:

10/х - 10/(1,25х) = 0,5

10 · 1,25х - 10 · х = 0,5 · х · 1,25х

12,5х - 10х = 0,625х²

0,625х² - 12,5х + 10х = 0

0,625х² - 2,5х = 0

Разделим обе части уравнения на 2,5

0,25х² - х = 0

D = b² - 4ac = (-1)² - 4 · 0,25 · 0 = 1 - 0 = 1

√D = √1 = 1

х₁ = (1-1)/(2·0,25) = 0/(0,5) = 0

х₂ = (1+1)/(2·0,25) = 2/(0,5) = 4 (км/ч) - скорость Долли

4 · 1,25 = 5 (км/ч) - скорость Полли

ответ: 4 км/ч и 5 км/ч.

Проверка:

10 : 4 = 2,5 ч - время Долли

10 : 5 = 2 ч - время Полли

2,5 - 2 = 0,5 ч - на столько меньше время Полли