Синус внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника равен четыре пятых . найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если его основание равно а.

Пробуем без чертежа.
Исходя из равенства sin(180°-α) = sin α. Делаем вывод, что и синус внутреннего угла при вершине равнобедренного треугольника также равен 4/5.
По формуле-следствию из теоремы синусов получим:

ответ: 

берут по кругу  по 1 м
разница третьего кр. с первым  ---648 м
всего гномов ?
Решение.
Х г число гномов
(1 * Х) = Х (м) на столько монет каждому гному придется брать больше по сравнению с предыдущим кругом, т.к. каждый берет по одной монете.
(2 * Х) = 2Х (м) на столько больше придется брать каждому на третьем по с сравнению с первым, т.к. пройдет ДВА круга.
2Х * Х = 2Х² разница в числе монет, взятых ВСЕМИ Х гномами за два круга. 
2Х² = 648 м по условию;
Х² = 648 : 2 = 324 (м)
Х = √324 = 18 (г)
ответ : 18 гномов сидело за столом.
Примечание.
1.  Если задача для начальной школы, то избегаем записи и вычисления квадратного корня. Делаем так:записывваем 
2Х * Х = 648 м; Х * Х = 324 и проводим  подбор: а) 324 < 20*20, значит, число десятков 1; б) последняя цифра 4 бывает при умножении 2*2=4 или 8*8=64;
в) 12 *12 = 144 не подходит, 18*18=324  --- подходит.
2. Формула Х = √(а/б), где а - разница в монетах, б - число кругов разницы подойдет и для решения подобных задач.

Докажем, что при любом натуральном и выражение А(n) = 4n + 15n - 1 кратно 9. Используем стандартную схему доказательства: 1. При n = 1 выражение A(1) = 41 + 15 · 1 - 1 = 18 кратно 9. 2. Предположим, что при n = k выражение А(k) = 4k + 15k - 1 кратно 9, т. е. 4k + 15k - 1 = 9р (где р - натуральное число). 3. При n = k + 1 надо доказать, что выражение А(k +1) = 4k+1 + 15(k + 1) - 1 делится на 9. Для доказательства можно использовать два й Поступим, как и в примере 1, т. е. выделим в выражении А(k + 1) часть А(k), которая делится на 9. Для этого преобразуем выражение А(k + 1) к виду А(k +1) = 4k+1 + 15k + 14 = 4(4k + 15k - 1) – 45k + 18 = 4 А(k) + 9(2 – 5k). Видно, что выражение А(k + 1) является суммой двух слагаемых, каждое из которых делится на 9. Сложность этого состоит в умении в выражении А(k + 1) выделить часть А(k), т. е. догадаться до преобразования 4k+1 + 15k + 14 = 4(4k + 15k - 1) – 45k + 18. Поэтому рассмотрим другой лишенный такого недостатка. 2-й Из выражения 4k + 15k - 1 = 9р (пункт 2) найдем 4k = 9р + 1 – 15k и подставим в выражение А(k +1) = 4k+1 + 15k + 14 = 4(9p + 1 – 15k) + 15k + 14 = 36p + 18 – 45k. Видно, что выражение A(k + 1) состоит из трех слагаемых, каждое из которых делится на. 9. Связь между пунктами 2 и 3 была обеспечена за счет того, что в пункте 2 была найдена величина 4k и подставлена в выражение пункта 3. Заметим, что если на число п накладываются по условию задачи ограничения, то необходимо ввести новое натуральное число т и свести задачу к старой схеме.