Вправильной треугольной пирамиде sabc сторона основания ab равна 30 а боковое ребро sa рано 28. точки m и n середины ребер sa и sb соответственно. плоскость α содержит прямую mn и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) докажите, что плоскость α делит медиану ce основания в отношении 5: 1 считая от точки c б) найдите расстояние от вершины a до плоскости α

0. Проведём высоту SO ⊥ (ABC), медиану (и биссектрису, и высоту) CL. Т.к. пирамида правильная, то O - центр треугольника ABC. По свойству медиан CO = 2OL.
1. MN - средняя линия треугольника SAB, поэтому MN ║ AB, треугольники SMN и SAB подобны и SP = SL/2, откуда PL = SL - SP = SL/2.
2. MN ║ (ABC) и MN ⊂ α, поэтому α ∩ (ABC) = XY, XY ║ MN, AB.
3. Опустим из P на CL перпендикуляр PK. P ∈ α, α ∩ (ABC) = XY, поэтому K ∈ XY, PK ⊂ α, PK ⊥ (ABC).
4. Рассмотрим треугольники SOL, PKL. Углы SOL, PKL - прямые, угол L общий, поэтому треугольники подобны. PL = SL/2, поэтому KL = OL/2.
Тогда
CK : KL = (CO + OL/2) : OL/2 = (2OL + OL/2) : OL/2 = 5 : 1.
Пункт а) доказан.

Решаем б). Расстояние между точкой и плоскостью измеряется по перпендикуляру, т.к. (ABC) ⊥ α, то перпендикуляр лежит в (ABC), а значит, перпендикуляр опущен на прямую XY. Но тогда нам нужно расстояние между AB и XY, т.к. AB ║ XY и A ∈ AB, а оно равно LK.

CL = √3 * AB / 2 = 15 √3
LK = CL / 6 = (5 √3) / 2

А) Пусть двузначное число x, тогда трехзначное число к которому приписали цифру 5 справа х5, а слева 5х.
х5=10х+5
5х=500+х
х5+5х=912
500+х+10х+5=912
11х+505=912
11х=407
х=37
Проверка:
537+375=912

б) Пусть трехзначное число х, тогда если к числу приписать 1 справа будет х1, а слева 1х.
х1=10х+1
1х=100+х
1х+х1=926
100+х+10х+1=926
11х+101=926
11х=825
х=75
Проверка
175+751=926

в) Пусть трехзначное число х, тогда приписанное справа будет х2, а слева 2х.
х2=10х+2
2х=2000+х
х2+2х=5929
2000+х+10х+2=5929
11х=5929-2002
11х=3927
х=357
Проверка
2357+3572=5929

г) Пусть трехзначное число х, тогда если приписать 7 слева будет 7х, а справа х7.
7х=7000+х
х7=10х+7
7х+х7=8360
7000+х+10х+7=8360
11х=8360-7007
11х=1353
х=123
Проверка
7123+1237=8360

Vr - скорость реки, км/сут
Vt - скорость парахода в стоячей воде, км/сут
S - расстояние между A и B
t - время для плота

S = (Vt + Vr) * 9 расстояние проходит ПАРАХОД из A в B - по течению
S = (Vt - Vr) * 15 расстояние проходит ПАРАХОД из B в A - против течения
S = Vr * t расстояние проходит ПЛОТ из A в B - по течению

 первые два
(Vt + Vr)*9  = (Vt - Vr) *15
9Vt +9 Vr  = 15Vt -15Vr
9Vt + 9 Vr  - 15Vt +15Vr =0
-6Vt + 24Vr = 0
24Vr = 6Vt
4*Vr = Vt

теперь второй и третье
(Vt -Vr)*15 = Vr * t     4*Vr = Vt
(4Vr - Vr) * 15 = Vr * t
45Vr - Vr*t = 0
Vr( 45 - t) =0
45 -t =
t = 45 суток
45 *24 =1080 часов