Монета подбрасывается три раза. найти вероятности следую¬щих событий: а = {герб выпал ровно один раз } ; в = { выпало больше гербов, чем решек}; с = {герб выпал не меньше двух раз подряд } .

У монеты 2 стороны: Орел, Решка. Подбрасывается 3 раза. Т.е. количество всевозможных исходов = 2^3 = 8. 
Для наглядности выпишу исходы:
О О О
О О Р
О Р О
О Р Р
Р О О
Р О Р
Р Р О
Р Р Р

1) Орел выпал всего один раз можеь быть всего в трех случаях. Значит вероятность события А = 3 / 8.

2) Также считаем благоприятные исходы. Их 4, значит P(B) = 4 / 8.

3) Исходов, где орел выпал 2 и более раз подряд, их 3. P(C) = 3 / 8.

Решение
Находим первую производную функции:
y' = -( - x + 13)e^(- x + 13) - e^(- x + 13)
или
y' = (x -14)e^(- x + 13)
Приравниваем ее к нулю:
(x - 14) e^(- x + 13) = 0
e^(- x + 13) ≠ 0
x - 14 = 0
x = 14
Вычисляем значения функции 
f(14) = 1/e
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = (- x + 13)e^(- x + 13) + 2e^(- x + 13)
или
y'' = (- x+15)e^(- x + 13)
Вычисляем:
y'' (14) = (- 14+15)e^(- 14 + 13) = e⁻¹ = 1/e
y''(14) = 1/e > 0 - значит точка x = 14 точка минимума функции.

№ 4.   x ≤ 0.75

№ 5.   ( - ∞; - 1 ] ∪ [ 3; + ∞ )

Пошаговое объяснение:

№ 4.      

Тогда выражение имеет вид:

             (0,5)^ (2*x) ≥ (0.125) ^ (1/2)

             (0.5) ^ (2*x) ≥ ((0.5)^3)^(1/2)

             (0.5) ^ (2*x) ≥ (0.5) ^ (3*(1/2)

             (0.5) ^ (2*x) ≥ (0.5) ^ (3/2)

             (0.5) ^ (2*x) ≥ (0.5) ^ 1.5

Т.к. 0,5 < 1, то имеем:

             2 * х ≤ 1.5

             x ≤ 1.5 / 2

             x ≤ 0.75 или иначе записать можно так х ≤

№ 5.   7 ^ (x ^ 2) * 49 ^ ( - x) ≥ 343

           7 ^ (x ^ 2) * 7^2^ ( - x) ≥ 7 ^ 3

           7 ^ (x ^ 2) * 7^ ( - 2 * x) ≥ 7 ^ 3

           7 ^ ((x ^ 2) + ( - 2 * x)) ≥ 7 ^ 3        

           7 ^ (x ^ 2 - 2 * x) ≥ 7 ^ 3

Т.к. 7 > 1, то запишем так:

            x ^ 2 - 2 * x ≥ 3

Решим получившееся квадратное неравенство.

           x ^ 2 - 2 * x = 3

           x ^ 2 - 2 * x - 3 = 0

           D = 16

           x1,2 = (2±4)/2

           x1 = 3     и      x2 = -1

Решим методом интервалов.

( - ∞; - 1 ] ∪ [ 3; + ∞ )