Гипотенуза прямоугольного треугольника равно 10 см. сумма катетов равна 14. найдите катеты треугольника?

Гипотенуза равна 10 см,
один катет равен х см, 
второй катет равен 14-х см
По теореме Пифагора:
10²=х²+(14-х)²
100=х²+196-28х+х²
2х²-28х+96=0
х²-14х+48=0
D=196-192=4
x=(14-2):2=6  х=(14+2):2=8
один катет равен 6 см
второй катет равен 14-6=8 см

Первое решение. Пусть O – середина отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости AOA1. Следовательно, плоскости BDA1 и AOA1 перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость BDA1, является высота AH прямоугольного треугольника AOA1, в котором AA1 = 1, AO = , OA1 = √6/2. Для площади S этого треугольника имеют место равенства . Откуда находим AH = √3/3

Второе решение. Пусть O – середина отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости AOA1. Следовательно, плоскости BDA1 и AOA1 перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость BDA1, является высота AH прямоугольного треугольника AOA1, в котором AA1 = 1, AO = , OA1 =√6/2 . Треугольники AOA1 иHOA подобны по трем углам. Следовательно, AA1:OA1 = AH:AO. Откуда находим AH = √3/3.

Третье решение. Пусть O – середина отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости AOA1. Следовательно, плоскости BDA1 и AOA1 перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость BDA1, является высота AH прямоугольного треугольника AOA1, в котором AA1 = 1, AO = , OA1 =√6/2 . Откуда sin угла AOA1=√6/3
и, следовательно, AH=AO* sin угла AOH=√3/3

Отклонив Дария III о мире, Александр стал готовиться к продолжению войны. Осенью 332 г. до н. э. он захватил Египет, а потом вернулся в Сирию и направился к местности Гавгамелы недалеко от города Арбелы, где находился персидский царь со своим войском. 1 октября 331 г. до н. э. здесь произошла битва. Центр армии Дария III занимали греческие наемники, а против них расположилась македонская пехота. Персы имели численный перевес на правом фланге и расстроили македонские ряды. Но решающая схватка происходила в центре, куда Александр проник вместе со своей конницей. Персы ввели в бой колесницы и слонов, но Дарий III, как и при Иссе, преждевременно счел продолжавшуюся битву проигранной и бежал. После этого сопротивлялись лишь греческие наемники. Александр одержал победу и захватил Вавилонию, а в феврале 330 г. до н. э. его армия вступила в Сузы. Вскоре в руки захватчиков попали Персеполь и Пасаргады, где находились главные сокровищницы персидских царей.
Дарий со своими приближенными бежал из Экбатан в Восточный Иран, где был убит бактрийским сатрапом. Персидская держава перестала существовать, и все ее владения стали частью империи Александра.