1. по кругу расставлены 100 чисел. известно, что каждое число равно среднему арифметическому двух соседних. докажите, что все числа равны.

а)очевидно, что случай, когда все числа равны, является решением

 

б)предположим, что все числа не равны между собой

тогда возьмем наибольшее из них(оно, очевидно, найдется, иначе, если его нет, то все равны между собой и мы приходим к п.а)

 

обозначим наибольшее число буквой x 

 

рассмотрим соседей наибольшего числа - если они оба меньше его, то, очевидно, их среднее арифметическое меньше x - противоречие

но ни один из соседей не может быть больше x, так как мы взяли x наибольшим числом

 

отсюда получаем, что оба соседа x в точности равны ему самому, следовательно, число, стоящее слева или справа от соседа числа x, так же равно x(т.к. они должно удовлетворять уравнению (x+y)/2=x (где y - сосед соседа x))

 

отсюда получаем, что все числа в круге равны x => равны между собой, что и требовалось доказать 

Примем  координаты точки а axayaz (0; 0; 0). координаты точки т bxbybz  ;   6; 0). координаты точки д cxcycz  (10; 0; 0). координаты точки s dxdydz  (5; 5; 7,07107).определяем длины рёбер. 1. нахождение длин ребер и координат векторов x y z  длина ребра вектор ат={xb-xa, yb-ya, zb-za}    0    6    0                                  6 вектор тд={xc-xb, yc-yb, zc-zb} 10  -6    0                      11,66190379 вектор ад={xc-xa, yc-ya, zc-za} 10    0    0                                10 вектор аs={xd-xa, yd-ya, zd-za}  5      5  7,071068                      10 вектор ts={xd-xb, yd-yb, zd-zb}  5    -1  7,071068            8,717797887 вектор дs={xd-xc, yd-yc, zd-zc} -5    5  7,071068                        10.2. определяем площади боковых граней.   площади граней a1 a2 a3                                                  s = aтд [aт ; aд]= 0    0      -60                                              30  это основание атs [aт ; as]= 42,42641    0    -30                                      25,98076 адs [aд ; as]= 0    70,710678      50                                43,30127 тдs [bc ; bd]= -42,4264    70,710678      20                  42,42641 sпол = 141,7084                                                sбок =   111,7084. можно, зная длины рёбер, площади боковых граней найти по формуле герона.

Отвечал уже для квадратов 1 - число кончается на 1 или 9 4 - число кончается на 2 или 8 5 - число кончается на 5 6 - число кончается на 4 или 6 9 - число кончается на 3 или 7 для кубов. кубы могут кончаться на любую цифру. 1 - число кончается на 1 2 - число кончается на 8 3 - число кончается на 7 4 - число кончается на 4 5 - число кончается на 5 6 - число кончается на 6 7 - число кончается на 3 8 - число кончается на 2 9 - число кончается на 9 самая интересная степень - это 5. любое число в 5 степени кончается на ту же цифру, что и само число.