Япредлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля) . пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число . пусть меньшее их этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. объясните с признака делимости на 9 этот фокус.

Трехзначное число, записанное цифрами a, b, c    это 100a+10b+c
Переставляя цифры будем получать числа, записанные так:
b, c, a        это 100b+10c+a

Вычитая из первого второе получим
99a -99b-9c =9·(11a-11b-c)- число кратное 9
Т.е сумма цифр разности кратна 9
кратными 9 могут быть числа
18; 27; 36; 45; 54; 63; 72;81;90;99;...198;207;...

сумма цифр этих чисел кратна 9

Например, пусть разность равна 18

1+8=9
если зачеркнуть цифру 1, то вторая цифра 9-1=8
Товарищ назовет цифру 8, значит вы назовете цифру 1

Например, разность равна 198
Зачеркнутая цифра 9
Товарищ называет сумму других цифр
1+8=9
Сумма цифр разности кратна 9, значит зачеркнута именно цифра 9
1+9+8=18
1+8=9
18-9=9

Значит, вы добавляете 9

327 это 300+20 +7
переставив цифры
273  это 200+70+3

вычитаем  300+20+7-(200+70+3)=(300-3)+(20-200)+(7-70)=
=3·99-2·90-7·9=9·(11·3-2·10-7)=9·6=54

Разность кратна 9, сумма цифр числа 54  равна 5+4=9 кратна 9
Если зачеркнуть 4, то вторая цифра  9-4=5
Если зачеркнуть 5, вторая цифра  9-5=4

Петропавловская крепость заложена 16 мая 1703 года по плану Петра I. Первоначально крепость именовалась Занхт-Питер-Бурх, в 1914—1917 — Петроградская крепость.В 1703 году Заячий остров был соединён с Петроградской стороной Иоанновским мостом.Петропавловская крепость никогда не использовалась по своему прямому назначению. Она функционировала как тюрьма для политзаключенных.8 ноября 1925 года Ленинградский совет постановил разрушить Петропавловскую крепость, а на её месте построить стадион. Решение было вскоре отменено.Петропавловская крепость является исторически уникальным защитным сооружением с экстерриториальными поддерживающими оборонительными пунктами.Сегодня Петропавловская крепость входит в состав Музея истории Санкт-Петербурга. С Нарышкина бастиона Петропавловской крепости ежедневно производится полуденный выстрел сигнальной пушки.В 1991 г. на территории Петропавловской крепости установлен памятник Петру Великому

(34×12-414÷23)÷30-(42×18-354)÷67
Первыми выполняются действия в скобках.
1) (34×12-414÷23) 

В скобках первыми выполняются умножение/деление. Так как тут есть оба действия, то просто выполняем слева направо. 

1.1) 34×12 = 408

1.2) 414 / 23 =  18

1.3) 408 - 18 = 390
Получается:  90 ÷ 30-(42×18-354)÷67
Решаем вторую скобку. 
Можно ее раскрыть по правилу, но его узнаете только в 6 классе. Так что обычно.
2) (42×18-354)

2.1) 42*18 = 756

2.2) 756 - 354 = 402

Промежуточное: 90 ÷ 30-(402÷67)

Делим то, что в скобке:

3) 402/67 = 6 
 
90 ÷ 30- 6 
4) 90/30 = 3

3 - 6 = -3