Докажите, что выражение 9^8+9^7 делится на 90

.......................

9^8+9^7=9^7(9^1+1)=9^7*10
Теперь проверим делимость на 90
90=9*10 =9^1*10
(9^7*10)/(9^1*10)=9^6
9^6 целое число значит исходное выражение делится на 90

Первый не мог сказать правду, так как утверждает, что все лжецы. Следовательно, первый лжет.

Если второй сказал правду, то третий солгал.

Если третий сказал правду, то солгал второй. Однако, третий сказать правду не может из-за второго предложения у второго, - в этом случае второй сказал правду, а оба сказать правду они не могут из-за первого предложения.

Таким образом, третий солгал, а второй сказал правду. Это возможно только при группе в 4 человека.

Теперь выясним, сколько среди них лжецов. Так как третий солгал, то лжецов не 3 человека. Остается вариант 2 лжеца, - те, кто участвовал в опросе.

ответ: в группе 4 человека, двое из них - лжецы.

Найдём наименьшее натуральное число, которое делится нацело на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9. Очевидно, оно равно наименьшему общему кратному этих чисел, которое в свою очередь равно 5*8*9=360 (2 и 4 делятся на 8, 3 делится на 9, 6 делится на 8*9) . Любое натуральное число, меньшее 360, не делится либо на 5, либо на 8, либо на 9.

Теперь рассмотрим число 361. При делении на любое число из условия оно даёт в остатке 1. Поскольку 360 — наименьшее число, которое даёт в остатке 0 при делении на все числа из условия, то 361 — наименьшее число, которое даёт в остатке 1 при делении на любое из этих чисел, что и требовалось.