Знайти суму двох послідовних чисел, менше з яких - число 29.

29+28=57
29+27=56
29+30=59
29+31=60

x∈ (-n-2;-n+2]

Пошаговое объяснение:

Вычислим радиус сходимости:

Находим область сходимости степенного ряда:

x∈(-n-2; -n+2)

Остаётся проверить сходимость ряда на концах данного интервала.

При х = -n-2 мы получим следующий ряд:

∑=∑

Рассмотрим первых 3 члена данного ряда: -2; 1/8; -128

Данный ряд будем исследовать по признакам Лейбница

Как видим, выполняется лишь второе условие Лейбница, а значит ряд расходится => x=-n-2 является точкой расходимости.

Рассматриваем второй конец x=-n+2

Получаем следующий ряд

∑=∑

Тут исследуем по признакам Даламбера

q=1 - неопределённость, т.к. при q>1 ряд расходится, а при q<1 - сходится.

q<1 , а это значит, что ряд сходится. х=-n+2 является точкой сходимости.

Тогда данный степенной ряд является сходящимся при x∈ (-n-2;-n+2]

(2x+8x^2)/(2x-1)<0

Первый случай:

{ 2x+8x^2<0

{ 2x-1>0

1₁) 2x+8x^2<0; 2x(1+4x)<0; x(1+4x)<0

x(1+4x)=0

x=0 или 1+4x=0; 4x=-1; x=-1/4

Методом интервалов:

(-1/4)(0)>

x∈(-1/4;0)

2₁) 2x-1>0; x>1/2

Итого:

{ x∈(-1/4;0)

{ x>1/2

                                 

(-1/4)(0)(1/2)>

Пересечений нет.

Второй случай:

{ 2x+8x^2>0

{ 2x-1<0

1₂) 2x+8x^2>0, 2x(1+4x)>0; x(1+4x)>0

x(1+4x)=0

x=0 или 1+4x=0; 4x=-1; x=-1/4

Методом интервалов:

(-1/4)(0)>

x∈(-∞;-1/4)∪(0;+∞)

2₂) 2x-1<0

2x<1

x<1/2

Итого:

{ x∈(-∞;-1/4)∪(0;+∞)

{ x<1/2

                 

(-1/4)(0)(1/2)>

Пересечение: x∈(-∞;-1/4)∪(0;1/2) -- ответ.

49^(x+1)=(1/7)^x

(7^2)^(x+1)=7^(-x)

7^(2x+2)=7^(-x)

2x+2=-x

2x+x=-2

3x=-2

x=-2/3 -- ответ.