Для школи 240 квитків у циркта 420 квитків у театр. четверту частину квитків у цирк і шосту частину квитків у театр віддали учням початкових класів.скільки всього квитків віддали учням початкових класів?

1)240: 4=60( в цирк

2)420: 6=70(кв)-виддали в театр

3)60+70=130(кв)-виддали учням початкових класив.

пусть  - длина дуги, ограничивающей искомый сектор, вырезаемый из круглого листа.

пусть - радиус круглого листа и одновременно образующая конуса (воронки). 

тогда радианная мера дуги , ограничивающей искомый сектор равна:

        )

  нам необходимо найти при каком объем воронки (правильного конуса)

будет наибольшим. запишем формулу объема конуса:

      )

где - радиус основания конуса; - высота конуса 

поскольку длина окружности основания конуса равна , то отсюда

              )

высоту конуса найдем с теоремы пифагора:

          )

подставим в (4) вместо выражение (3):

 

          )

 

подставим в (2) вместо и соотвественно выражения (3) и (5), получим:

      )

    где  

  очевидно, что естественной областью определения объема как функции от  есть интервал:

        )

  продифференцируем (6) по :

  , отсюда

    )

чтобы функция (6) имела на естественной области ее определения максимум или минимум, необходимо чтобы )

тогда из (8) и (9) получим:

        , отсюда с учетом, что , найдем критическую точку:

        , или

         

  поскольку естественной области определения (7)  принадлежит только одна критическая точка    и поскольку на естественной области определения функция (6) принимает только положительные значения, то критическая точка - точка максимума функции (6). другими словами, при объем воронки будет наибольшим.

теперь мы можем найти радианную меру искомого сектора, для чего подставим в (1) вместо  критическую точку :

   

 

 

   

         

 

пусть время первого х часов , второго у часов. тогда производительность первого 1/x, второго 1/y. вместе они работали 3 целых 3/5 часа = 18/5. значит, совместная производительность 5/18. первое уравнение 1/х + 1/у = 5/18

второй сделал 1/3 работы за   1/3 : 1/у = у/3,   первый сделал оставшуюся часть 2/3 работы зв 2/3 : 1/х =2х/3. всего они работали 8 часов. второе уравнение

2х/3   +   у/3 = 8. получили систему. из первого уравнения 18x+18y=5xy, из второго

2x+y = 24. отсюда, у = 24-2х. подставим в первое, после получим:

5x^2 -69 +216 = 0,   x=9, тогда у=24-18=6, т.е. время первого 9 часов, второго 6 часов

или х=4,8   тогда у=14,4, т.е время первого 4,8 часа, второго 14,4 часа