Решите составив уравнение с двумя переменными. первое число кратно 7, а второе 13. сумма этих двух чисел равна 61. найдите число, кратное 7.

Скорее всего в условии ошибка и сумма равна 62 а не 61 тогда:
 1число =7х,второе 13, ⇒7х+13=62⇒х=7⇒1 число =49

Требуются  логические рассуждения с перебором возможных вариантов.

Петя                  Вася                                                 Толя
"все лжецы"     "Лжец только Петя"                              ?

Формулировка задания такова что допустить вариант что Петя сказал истину невозможно, ведь он не может сказать истину о том что все ВКЛЮЧАЯ ЕГО САМОГО лжецы, тогда вступает в силу "парадокс лжеца".

Поэтому мы сразу можем утверждать, что Петя говорит ЛОЖЬ.
В чем именно эта ложь заключается? - не в том что он является лжецом, а в том, что ВСЕ из них являются лжецами.
Отсюда можно сделать вывод, что истиной является то, что 
НЕ ВСЕ ОНИ являются лжецами.
Иначе говоря, Среди них есть РЫЦАРЬ и это Либо Вася либо Толя либо оба сразу. 

Предположим, что Вася лжец, тогда он соврал он том, что лжец только Петя. И тогда Единственным вариантом на роль Рыцаря остается Толя. ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ ОТВЕТА НА ВОПРОС ЗАДАЧИ.

Предположим Вася говорит правду, тогда он сказал правду о том, что лжецом является ТОЛЬКО Петя и тогда остальные двое - Вася и Толя - РЫЦАРИ ВТОРОЙ ВАРИАНТ ответа.

В любом Случае, для Толи остается роль Рыцаря и никак иначе. 

Полк выстроили в форме прямоугольника.
Пусть в рядах а человек, в колоннах- b человек. Всего ab человек в полку.

1% от  ab - это 0,01 ab.

 По условию награжденные солдаты встречаются ровно в 30% рядов- это 0,3а  и в 40% колонн-это 0,4b.

Составляем систему неравенств :
0,3a<0,01ab  и 0,4b < 0, 01ab.
умножаем каждое неравенство на 100: 
30а<ab
  40b<ab   
или
 a>30  
b>40
Ясно, что   ab > 1200.
Следующее за ним число  1201- наименьшее, но оно не может служить ответом, так как является простым числом, поэтому 1201 нельзя представить в виде произведения ab - не выполняется первое условие.
"Полк выстроили в форме прямоугольника"
ответ.1202