Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные и нечетные. пусть a — сумма сумм цифр чисел в первой группе, b — во второй. найдите b−a.

Дано: 1, 2, 1000 - ряд натуральных чисел от 1 до 1000 2, 4, 6, 1000 - ряд чётных чисел. сумма данного ряда   равна а. 1, 3, 5, 999 - ряд нечётных чисел. сумма данного ряда равна b. найти: b-a решение: а=2+4+6++1000 сумму данного ряда найдём с формулы суммы арифметической прогрессии. а₁=2, а₂=4 => d=a₂-a₁=4-2=2 a(n)=1000 n-? a(n)=a₁+d(n-1) 2+2(n-1)=1000 2(n-1)=998 n-1=499 n=500 s(n)=s(500)=(a₁+a₅₀₀)*500/2=(2+1000)*250=250500 следовательно, а=250500 аналогично, находим b - сумму ряда нечётных чисел: b=1+3+5++999 b₁=1, b₂=3 => d=b₂-b₁=2 b(n)=999 n-? b(n)=b₁+d(n-1) 1+2(n-1)=999 2(n-1)=998 n-1=499 n=500 s(n)=s(₅₀₀)=(b₁+b₅₀₀)*500/2=(1+999)*250=250000 следовательно, b=250000 b-a=250000-250500=-500 ответ: -500

Точки О, К - середины сторон АВ и В1С1 соответственно.
Проведём ОД║АВ1  и ДК║ВС1.
Угол ОДК - искомый угол.
ОД - средняя линия ΔАВВ1, ДК - средняя линия ΔВВ1С1.
ОД=1/2*АВ1=1/2*√2 ,  ДК=1/2*ВС1=1/2*√2
Проведём перпендикуляры ОР⊥А1В1  и  КР⊥А1В1  ⇒ 
ΔОРК прямоугольный. РК - средняя линия ΔΔАВ1С1б РК=1/2.
ОК=√(ОР²+РК²)=√(1+1/4)=√(5/4)=√5/2
Теорема косинусов: ОК²=ОД²+ДК²-2*ОД*ДК*cos∠ОДК
cos∠ОДК=(JL²+LR²-OK²)/(2*ОД*ДК)=(1/2+1/2-5/4)/(2*√2/2*√2/2)=-1/4
Так как косинус получился отрицательный, то мы нашли тупой угол. Значит надо найти cos острого угла между прямыми.
 Он равен  cos(180-α)=-cosα=1/4.

Условие:
Длина = 25м                          Две строчки объединить одной
ширина = 24м                                       скобкой
постройки = 1/10 площади      отсюда → к скобке
Овощи = 1/4 площади            отсюда → к скобке
Фруктовые деревья = ? (кв.м)

Решение:
1) 25 * 24 = 600(кв.м) - площадь участка
2) 600 * 1/10 = 60(кв.м) - площадь под постройки
3) 600 * 1/4 = 150(кв.м) - площадь под овощами
4) 150 + 60 = 210(кв.м) занято постройками и овощами
4) 600 - 210 = 390(кв.м)
ответ: 310кв.м - площадь под фруктовыми деревьями.