1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R при х ≠ 1.
2. Функция f (x) = (2x-1)/(x-1)^2 непрерывна на всей области определения.
Точка, в которой функция точно не определена (разрыв функции): х ≠ 1.
Область значений функции приведена в пункте 5.
3. Точки пересечения с осью координат Ох.
График функции пересекает ось Ох при f = 0, значит надо решить уравнение:
(2x-1)/(x+1)^2 =0.
Достаточно для дроби приравнять нулю числитель и проверить, не превращается ли в 0 знаменатель при найденных корнях.
Приравниваем нулю: 2х - 1 = 0. х = 0,5.
Значит, функция может принимать значения х = 0, так как точка, при которой знаменатель превращается в 0, это х = 1.
4. Точки пересечения с осью координат Оу.
График пересекает ось Oy, когда x равняется 0.
В соответствии с пунктом 3 х = 0, точка пересечения графика с осью координат Оу: х = 0.
Результат: f(0) = -1. Точка: (0, -1).
5. Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
y’ = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y^'=-2x/(x-1)^3 =0.
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): 2x=0.
Получаем 1 корень этого уравнения и это - точка, в которых возможен экстремум: х = 0 .Эта точка делит область определения функции на 2 промежутка, а с учётом точки разрыва функции при х = 1 получаем 3 промежутка монотонности функции :
x ϵ (-∞; 0) U (0; 1) U (1; +∞).
На промежутках находим знаки производной.
Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -1 0 0,5 1 2
y' = -0,25 0 8 - -4
Минимум функции в точке х = 0.
Максимума функции нет.
Возрастает на промежутке: x ϵ (0; 1).
Убывает на промежутках: (-∞; 0) (1; +∞)..
Наличие точки разрыва функции первого рода требует определения предела функции при приближении к точке х = 1.
Находим пределы при х→1_(-0) и х→1_(+0).
lim┬(x→1)〖(2x-1)/(x-1)^2 =∞〗.
Так как в точке х = 1 функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением х = 1, является вертикальной асимптотой графика.
Отсюда находим область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R.
6. Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции.
y^''=(2(2x+1))/(x-1)^4 =0.
Это уравнение имеет решение при 2x+1=0,x=-1/2.
Поэтому у графика перегиб в точке ((-1/2); (-8/9)).
7. Интервалы выпуклости, вогнутости:
Так как вертикальная асимптота делит график на 2 части, а точка перегиба находится в одной из них, то имеем 3 промежутка выпуклости функции:
x ϵ (-∞; (-1/2)) U ((-1/2); 1) U (1; +∞).
Находим знаки второй производной на этих промежутках - где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:
x = -1 -0,5 0,5 1 2
y'' = -0,125 0 64 - 10
Выпуклая на промежутке: (-∞; (-1/2)).
Вогнутая на промежутках: ((-1/2); -1) и (-1; ∞).
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота определилась в пункте 2, это прямая х = 1.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:
lim┬(x→∞)〖2x/(x-1)^2 =∞〗, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
lim┬(x→-∞)〖2x/(x-1)^2 =-∞〗,, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
Наклонные асимптоты графика функции
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при lim┬( x→±∞)〖(kx+b-f(x)).〗
Находим коэффициент k: k=lim┬(x→±∞)〖(f(x))/x.〗
k= lim┬(x→∞)〖(2x-1)/((x-1)^2 x)=(2x-1)/(x^3-2x^2+x)=(2x/x^3 -1/x^3 )/(x^3/x^3 -(2x^2)/x^3 +x/x^3 )=(0-0)/(1-0+0)=0.〗
Так как коэффициент к = 0, то наклонной асимптоты нет, она совпадает с осью Ох при x→∞.
9. Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(-x)=f-x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=(-2x-1)/(-x-1)^2 =(-(2x+1))/(x+1)^2 ≠f(x)≠-f(x).
3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Таблица точек
x y
-4.0 -0.36
-3.5 -0.4
-3.0 -0.44
-2.5 -0.49
-2.0 -0.56
-1.5 -0.64
-1.0 -0.75
-0.5 -0.89
0 -1
0.5 0
1.0 -
1.5 8
2.0 3
2.5 1.78
3.0 1.25
3.5 0.96
4.0 0.78
4.5 0.65
5.0 0.56
5.5 0.49
6.0 0.44
Пошаговое объяснение:
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
«о золотом мальчике» в 1496 году в роскошном замке миланского герцога моро проходило праздничное шествие, которое возглавлял мальчик, тело которого сплошь было покрыто краской, по цвету напоминавшей золото. подросток должен был олицетворять собой «золотой век» возрождения, который переживала в то время вся северная италия, а постановщиком этого действия был великий леонардо да винчи. забава знатных гостей стала роковой для артиста. после представления о нем забыли, и подросток остался на всю ночь в холодном помещении зала на каменном полу. лишь на следующий день испуганного и плачущего мальчика нашли лежащим в дальнем углу зала. вскоре он заболел и умер. причина смерти долго оставалась непонятной. одни учёные считали, что ребёнок погиб от недостатка воздуха, так как дыхание через кожу стало невозможным. другие утверждали, что причина гибели — прекращение работы потовых желёз. однако у этих объяснений были противники, которые попытались опровергнуть неверные гипотезы экспериментально. опыт, объясняющий причину смерти ребёнка, был проведён только в хiх веке. в эксперименте участвовали двое взрослых мужчин, тела которых были покрыты лаком. в помещении, где находились испытуемые, постоянно поддерживали благоприятную температуру воздуха. один мужчина пребывал в таком состоянии сутки, а другой — 8 суток без каких-либо последствий для организма. этот смелый эксперимент, по мнению учёных, позволил им объяснить причину гибели мальчика. используя содержимое текста « о золотом мальчике», ответьте на следующие вопросы. 1) какова продолжительность эксперимента, который проводился в xix в.? 2) объясните, почему оказались несостоятельными первоначальные версии гибели подростка?
2) версия гибели ребенка от недостатка воздуха при кожном дыхании
не подтверждена экспериментами, оба мужчины чувствовали себя норм. Несостоятельна, т.к. мальчик погиб сразу же. Кроме того, кожное дыхание не играет главной жизненной роли при газообмене.
версия о прекращение работы потовых желез и самоотравление также не подтверждена экспериментами, т.к. ребенок был в холодном помещение и потовые железы слабо функционировали.
причина: раздражение лаком кожи привело к расширению кровеносных сосудов, усилению теплоотдачи и переохлаждению.