Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20м. какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

Пусть х м-высота конуса.Тогда по т.Пифагора найдем радиус основания:R=√(20²-x²)=√(400-x²)
По формуле объема конуса имеем:
              V=πR²·H/3=π(400-x²)·x/3=(400πx-πx³)/3.Рассмотрим функцию
V(x)=(400πx-πx³)/3
и исследуем её на экстремум:
V'(x)=(400π-3x²π)/3,V'(x)=0, (400-3x²)π/3=0, 3x²=400,x²=400/3
x₁=20/√3,x₂=-20/√3-не подходит по условию задачи.
             +        max                      -
20/√3>V'(x)
При Н=20/√3 воронка имеет наибольший объем.

ответ:      1)  φ = 45° ;   2)    | a + 2b | = 2√10 .

Пошаговое объяснение:

1 )  Сума векторів  а + с = ( 2 + 4 ; 3 - 3 ) = ( 6 ; 0 ) ; | a + c | = √( 6² + 0²) = 6 ;

| b | = √( 7² + ( - 7)²) = √ 2* 49 = 7√2 ;

Скалярний добуток векторів  ( а + с ) * b = 6*7 + 0*( - 7) = 42 .

cosφ = [ ( а + с ) * b ]/[ | a + c | * | b | = 42/( 6 * 7√2) = 1/√2 = √2/2 ;

cosφ = √2/2 ;     φ = 45° .

2) Модуль  суми    | a + 2b | = √ ( a + 2b )² = √ ( a² + 4 a*b + 4b² ) =                                           =  √( |a|² +4|a|*|b |cos135°+4|b|² ) = √ [ (2√2)² - 4*2√2*4*cos45° +4 * 4²] =

= √ ( 8 - 32 + 64 ) = √40 = 2√10 ;  модуль суми  | a + 2b | = 2√10 .

Так как три стороны искомого четырёхугольника – это стороны исходного треугольника, то вписанная в четырёхугольник окружность является и вписанной в треугольник.

То есть такая окружность – единственная и её радиус определяется размерами треугольника.

Радиус окружности r = S/p.

Площадь треугольника определяем по формуле Герона.

Полупериметр р = (30+30+36)/2 = 96/2 = 48.

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(48*18*18*12) = √186624 = 432 кв.ед.

Получаем r = 432/48 = 9.

Заданная прямая, образующая четырёхугольник, это касательная к окружности и перпендикулярная боковой стороне.

Длина отрезка СН = 18 + 9 = 27.

Находим тригонометрические функции угла С.

Определяем высоту BD = 2S/AC = 2*432/36 = 24.

sin C = 24/30 = 4/5, cos C = 18/30 = 3/5, tg C = 24/18 = 4/3.

Находим координаты точки Н.

x(H) = 36 – 27*cos C = 36 – (27*3/5) = 99/5 = 19,8.

y(H) = 27*sin C = 27*(4/5) = 108/5 = 21,6.

Координаты точки G находим как точку пересечения прямых AB и GH.

Уравнение АВ: у = (4/3)х.

Уравнение ВС: у = (-4/3)х + (36*4/3) = (-4/3)х + 48.

Угловой коэффициент к перпендикулярной прямой GH равен: к = -1/(-4/3) = 3/4.

Уравнение GH: y = (3/4)x + b. Для определения параметра b подставим координаты точки Н: 21,6 = (3/4)*19,8 + b, отсюда b = 6,75.

Уравнение GH: y = (3/4)x + 6,75.

Приравниваем (4/3)x = (3/4)x + 6,75.

Получаем x(G) = 81/7, y(G) = 108/7.

Имея координаты четырёх точек находим площадь искомого четырёхугльника.

Примем условные координаты точек.

Площадь треугольника ABC  

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 27,77143

Площадь треугольника ACD     388,8

Площадь четырёхугольника АBCD  S(ABCD)= 416,5714.

S(AGHC)= 416,5714.