Докажите что к каждому подмножеству из 100 элементов {1, } можно добавить по одному элементу так т что все получившиеся 101-элементные подмножества будут разными

Лемма (Холл). Пусть есть k мальчиков и некоторое количество девочек, при этом любая группа из m мальчиков знает не менее, чем m девочек (считаем, что группа знает девочку, если это девочку знает хотя бы один мальчик из группы). Тогда каждому мальчику можно найти невесту среди знакомых ему девочек так, чтобы любая девочка была невестой не более, чем одного мальчика.
Доказательство. Пусть еще не все мальчики - женихи, на первом шаге выберем любого мальчика без невесты, а он пригласит всех девочек, с которыми он знаком. На каждом последующем шаге будем добавлять в рассмотрение женихов всех выбранных девочек, а они тоже пригласят всех девочек, с которыми они знакомы.
Тогда:
1. На каком-то шаге мы выберем девочку без жениха (всякий раз, если в группе есть m мальчиков, будет не менее m девочек. Если всё время у всех девочек будут женихи, то равно или поздно в группе будут все k мальчиков и, соответственно, не менее k девочек. Ну а поскольку невест не больше k - 1, то хотя бы у одной не будет жениха).
2. Найдя девочку без жениха, поженим её с тем, кто её пригласил. Оставшуюся без пары девочку поженим с тем, кто пригласил её, и так далее. В конце концов мальчик, изначально не умевший пары, получит невесту, а все мальчики - женихи, останутся женихами.
Повторяя подобные операции можно найти всем мальчикам пару.



А теперь к задаче ;)
Пусть 100-элементные подмножества - мальчики, 101-элементные подмножества - девочки. Будем говорить, что мальчик знает девочку, если они отличаются на один элемент (например, {1, 2, ..., 100} знает {1, 2, ..., 101}). 
Заметим, что любые m мальчиков суммарно знают не менее m девочек: каждый знает 1916 девочек, а общих знакомых девочек, посчитанных дважды, на каждого не больше 101.
Тогда по лемме каждому мальчику можно найти пару, т.е. 101-элементное подмножество, которое и требуется по условию.

ответ:More than anything else, the pr. Curator (not) saw the smell of rose oil and everything now anticipated (not) a good day since the smell was pr .. followed the pr. Curator from the light. To the curator, it seemed that the pink smell was running out ... to paris and palm trees in the garden, to the smell of leather ... of equipment ... and sweat from the convoy pr ... mixes up ... the prickly pink stream. From the flanks ... lei in the rear of the palace where ra..pol..has lived pr..went with pr..curator to Yershalaim the first k .. two ... eleventh Lightning bolts..nos..nogo..gion taken .. forcefully smoke in colo..adu through the upper..yu garden area and to the bitter smoke of St indicating that the cooks in Kenturians began to cook dinner .. all that same fat pink spirit was mixed.

“Oh gods gods why are you punishing me? Yes, there is no doubt it is she, she again, (un) victorious horror .. hemicrania disease in which (sex) of the head hurts ... there is no cure for it .. there is no (n ..) what kind of salvation ... p .. try (not ) move your head. "

Пошаговое объяснение:

ответ:More than anything else, the pr. Curator (not) saw the smell of rose oil and everything now anticipated (not) a good day since the smell was pr .. followed the pr. Curator from the light. To the curator, it seemed that the pink smell was running out ... to paris and palm trees in the garden, to the smell of leather ... of equipment ... and sweat from the convoy pr ... mixes up ... the prickly pink stream. From the flanks ... lei in the rear of the palace where ra..pol..has lived pr..went with pr..curator to Yershalaim the first k .. two ... eleventh Lightning bolts..nos..nogo..gion taken .. forcefully smoke in colo..adu through the upper..yu garden area and to the bitter smoke of St indicating that the cooks in Kenturians began to cook dinner .. all that same fat pink spirit was mixed.

“Oh gods gods why are you punishing me? Yes, there is no doubt it is she, she again, (un) victorious horror .. hemicrania disease in which (sex) of the head hurts ... there is no cure for it .. there is no (n ..) what kind of salvation ... p .. try (not ) move your head. "

Пошаговое объяснение: