Вразные моменты времени из пунктов а и в выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. встретившись в точке с, они тотчас развернулись и поехали обратно. доехав до своих пунктов, они опят развернулись и поехали навстречу друг другу. на этот раз они встретились в точке d и, развернувшись, вновь поехали к своим пунктам. и т. к. в какой точке отрезка ав произойдёт их 1999 встреча?

На самом деле в задаче сильно мало данных. Если мы предполагаем движение велосипедиста и мотоциклиста равномерным (без ускорения), то получается что точка С совпадает с точкой D и совпадает с точкой их 1999 (и какой бы то ни было другой) встречи. 

Это следует из того, если велосипедист проехал расстояние АС за время Х то расстояние СА он проедет за такое же время Х. Мотоциклист за это же время проехал расстояние ВС (он тоже доехал до точки встречи). Следовательное еще за Х времени он опять вернется в пункт В.

                              Производительность  Время       Работа
реальность                  х дет/час              84/х (ч)       84 дет
предположение          (х+2)дет/час          на 1 ч <     84 дет

Составляем уравнение:
Решение уравнения:
84/х  - 84 /(х+2) = 1 
приведём к общему знаменателю х(х+2) и откинем его заметив, что х≠0 и х≠-2
получим:
84(х+2) - 84 х = х(х+2)
84х+168-84х = х²+2х
х²+2х-168=0
Д=4+4*168=676=26²
х(1) = (-2+26)/2=12 (дет в час) - производительность, с которой работал мастер
х(2) = (-2-26)/2 < 0 не подходит под условие задачи, т к  производительность должна быть >0

Метод подбора:
84/х  - 84 /(х+2) = 1 
X>0 , т к производительность положительное и целое число

84/1 - 84 / 3 = 1
84 - 28 = 56; 56 ≠1

84/2 - 84 / 4 = 1
42 - 21 = 21 ≠1

84/3 - 84/ 5  ≠1

84/ 4 - 84 / 6 ≠1
 
84/ 5 - 84 / 7 ≠1

84/6 - 84/ 8 ≠1

84/7 - 84/9 ≠1

84/8 - 84/10 ≠1

84/9 - 84/11 ≠1

84/10 - 84/ 12 ≠1

84/11 - 84/13 ≠1

84/12 - 84/14= 1
7 - 6 = 1 ; 1=1 --- верно

х=12 (дет/час) производительность мастера

                              Производительность  Время       Работа
реальность                  х дет/час              84/х (ч)       84 дет
предположение          (х+2)дет/час          на 1 ч <     84 дет

Составляем уравнение:
Решение уравнения:
84/х  - 84 /(х+2) = 1 
приведём к общему знаменателю х(х+2) и откинем его заметив, что х≠0 и х≠-2
получим:
84(х+2) - 84 х = х(х+2)
84х+168-84х = х²+2х
х²+2х-168=0
Д=4+4*168=676=26²
х(1) = (-2+26)/2=12 (дет в час) - производительность, с которой работал мастер
х(2) = (-2-26)/2 < 0 не подходит под условие задачи, т к  производительность должна быть >0

Метод подбора:
84/х  - 84 /(х+2) = 1 
X>0 , т к производительность положительное и целое число

84/1 - 84 / 3 = 1
84 - 28 = 56; 56 ≠1

84/2 - 84 / 4 = 1
42 - 21 = 21 ≠1

84/3 - 84/ 5  ≠1

84/ 4 - 84 / 6 ≠1
 
84/ 5 - 84 / 7 ≠1

84/6 - 84/ 8 ≠1

84/7 - 84/9 ≠1

84/8 - 84/10 ≠1

84/9 - 84/11 ≠1

84/10 - 84/ 12 ≠1

84/11 - 84/13 ≠1

84/12 - 84/14= 1
7 - 6 = 1 ; 1=1 --- верно

х=12 (дет/час) производительность мастера