Есть 100 различных натуральных чисел, среднее арифметическое любых 10 их них целое. какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?

Выделим группу из 9 чисел ,пусть их сумма равна s,выделим также два числа a и b вне этой группы. Тогда числа: s+a и s+b делиться на 10,тогда делиться на 10 и их разность: то есть a-b делиться на 10,то есть разность любых двух чисел делится на 10.Верно и обратное:если разность любых двух делиться на 10,то среднее арифметическое любых 10 делиться на 10. Действительно: просуммировать все разности с числом a и других произвольных 10 чисел,получим что 10a-(b1+b2.. +b10) делиться на 10 ,значит следующая сумма неизбежно делиться на 10.Расположим числа в порядке возрастания. Заметим что разность между двумя соседними числами не менее 10,тк делиться на 10. Таким образом чтобы наибольшее число было наименьшим,необходимо чтобы все разности между любыми двумя соседними числами были минимальны,то есть равны 10(если все разности между двумя соседними равны 10,то разность между любыми двумя делиться на 10).А самое маленькое число было минимальным ,то есть равным 1,тогда наименьшее наибольшее число будет равно :1+10*99=991.

Всего --- 14 п.
Коля ? п., но в 2 р < Вити
Витя   ? п
Коли < Женя --- ? п. < Вити
Решение.
      Пусть Коля съел 1 часть всех пирожков , а Женя съел столько, сколько Коля (1 часть). Тогда Витя съел  2 части, так как он съел в два раза больше.
1 + 1 + 2 = 4 (части) съели бы все вместе
14 : 4 = 3 (п.) (и 2 пирожка остаток) приходится на 1 часть.
Значит, Коля съел 3 пирожка
 3 * 2 = 6 (п.)  столько пирожков съел Витя.
3 + 2 = 5 (п) столько пирожков съел  Женя.
Остаток 2 пирожка меньше, чем одна часть, поэтому женя съел не две части, как Витя, а меньше. Но больше Коли.
ответ: Коля съел 3 пирожка, Женя 5 пирожков, Витя 6 пирожков

Всего --- 14 п.
Коля ? п., но в 2 р < Вити
Витя   ? п
Коли < Женя --- ? п. < Вити
Решение.
      Пусть Коля съел 1 часть всех пирожков , а Женя съел столько, сколько Коля (1 часть). Тогда Витя съел  2 части, так как он съел в два раза больше.
1 + 1 + 2 = 4 (части) съели бы все вместе
14 : 4 = 3 (п.) (и 2 пирожка остаток) приходится на 1 часть.
Значит, Коля съел 3 пирожка
 3 * 2 = 6 (п.)  столько пирожков съел Витя.
3 + 2 = 5 (п) столько пирожков съел  Женя.
Остаток 2 пирожка меньше, чем одна часть, поэтому женя съел не две части, как Витя, а меньше. Но больше Коли.
ответ: Коля съел 3 пирожка, Женя 5 пирожков, Витя 6 пирожков