Имеется сто билетов с номерами 01, , 99, и десять ящиков с номерами 0, 1, билет разрешается опускать в ящик если номер ящика содержится в записи номера билета может ли после некоторого раскладывания всех билетов по указанному правилу хотя бы один ящик оказаться пустым

Нет, не может.
Такие билеты как 00, 11, 22, 33 и т.д. могут идти только в один ящик:
00 в 0
11 в 1
22 во 2 и т.д.
потому каждый ящик будет чем-то заполнен!

Нет. Не может. Пример:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.-ящики.
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19.-билеты.
0-ящ. - 0,10.бил.
1-ящ.-1,11.бил.
2-ящ.-2,12.бил.

НОД (12; 20) = 4

НОД (27; 72) = 3 * 3 = 9

Пошаговое объяснение:

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел - это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка.

1. НОД (12; 20)

Разложим на простые множители число 12 :

12 = 2 * 2 * 3  

Разложим на простые множители число 20 :

20 = 2 * 2 * 5  

Выберем одинаковые простые множители в обоих числах: 2, 2  

Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ :

НОД (12; 20) = 2 * 2 = 4

2.  НОД (27; 72)

Разложим на простые множители число 27 :

27 = 3 * 3 * 3  

Разложим на простые множители число 72 :

72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3  

Выберем одинаковые простые множители в обоих числах: 3, 3

Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ :

НОД (27; 72) = 3 * 3 = 9

Строишь матрицу по системе уравнений:
(x, y, z написал для наглядности)..

...и вектор к нему(из результатов уравнения)

Формула для нахождения определителя методом треугольника:
a₁₁*a₂₂*a₃₃ - a₁₁*a₃₂*a₂₃ - a₁₂*a₂₁*a₃₃ + a₁₂*a₃₁*a₂₃ + a₁₃*a₂₁*a₃₂ - a₁₃*a₃₁*a₂₂
(a - элемент матрицы, нижние индексы - позиция элемента в матрице).

Методом треугольника находишь определитель матрицы:
∆ = 3*(-1)*2 - 3*0*3 - 2*5*2 + 2*7*3 + 4*5*0 - 4*7*(-1) = 44
Чтобы решать дальше, определитель не должен быть равен нулю.

Заменяешь первый столбец матрицы(x), на вектор:

Методом треугольника находишь определитель матрицы:
∆x = 1*(-1)*2 - 1*0*3 - 2*5*2 + 2*7*3 + (-1)*5*0 - (-1)*7*(-1) = 13

Заменяешь второй столбец матрицы(y), на вектор:

Методом треугольника находишь определитель матрицы:
∆y = 3*2*2 - 3*0*(-1) - 2*1*2 + 2*7*(-1) + 4*1*0 - 4*7*2 = -62

Заменяешь третий столбец матрицы(z), на вектор:

Методом треугольника находишь определитель матрицы:
∆z = 3*(-1)*(-1) - 3*2*3 - 2*5*(-1) + 2*1*3 + 4*5*2 - 4*1*(-1) = 45

Когда все определители найдены по очереди делишь определители ∆x, ∆y, ∆z на ∆(определитель первой матрицы). 
x =
y =
z =

Проверка обычной заменой: