Нужно вырожение 134×k-10×l+5×(2×l-17×k)

Оба двухзначных числа оканчиваются на одну и ту же цифру (пересказал условие, хех). Произведение двух таких чисел может оканчиваться на 1, если они оканчиваются либо на 1, либо на 9.

Разложим число 2001 на множители. Сразу бросается в глаза, что оно делится на 3:

Разложим 667 на множители. Тут я считерю и воспользуюсь калькулятором, получается 23*29 — это простые числа. Я не знаю, как факторизовать их без калькулятора, кроме метода перебора.

То есть . Есть два варианта сделать два двухзначных числа:

— последние цифры одинаковы, подходит.

— последние цифры одинаковы, не подходит.

ответ: .

P. S. Возможно, перейдя к десятичному представлению чисел и найдя там какие-то закономерности, можно решить проще без калькулятора. Попробуйте:

Условие:

Доказать, что наименьшее натуральное число , для которого , должно быть делителем ; - простое число, не делящее целого числа .

Пошаговое объяснение:

Пусть число найдено.

Пусть - остаток от деления на , т.е.  

Согласно теореме Ферма .

Но . Значит,

.

При этом, по построению, , откуда, если натуральное, получаем противоречие с тем, что - минимальное из чисел, удовлетворяющих условию. Значит, [учитывая, что из теоремы Ферма следует существование искомого числа] - а это и означает, что - делитель числа .

Ч.т.д.