Существуют ли такие натуральные числа m, n, k, что все три числа m^2+n+k, n^2+k+m, k^2+m+n являются квадратами натуральных чисел?

Пусть, не нарушая общности,

Тогда

С другой стороны, т.к. числа натуральные,

- последовательные натуральные числа. По условию - полный квадрат. Тогда получается, что он "зажат" между квадратами двух последовательных натуральных чисел, что, очевидно, невозможно. Противоречие. А значит таких натуральных чисел не существует.

Баланс на 27.07.2012 равен 90

Пошаговое объяснение:

Дата.                Расход.            Приход.         Баланс

01.02.2012.         нет                  320               =320

05.02.2012      - 185                     -                  =320-185=135

11.02.2012.          нет                   65                =135+65=200

18.02.2012.       -240                    -                 =200-240=-40 ( перерасход)

23.02.2012.       нет                    270              =-40+270=230

27.07.2012        -140                    -                 =230-140=90

Баланс на 27.07.2012 равен 90 ( ура он положительный, и может на него начисляются проценты)

По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

Второе условие Лейбница выполняется.  Таким образом, ряд сходится. Исследуем теперь ряд на абсолютной и условной сходимости. Для этого рассмотрим данный ряд по модулю

Этот ряд расходится, так как это гармонический ряд и он является расходящимся.

Таким образом, данный исследуемый ряд сходится условно.