Раскройте скобки: 1) 4x (a+b) - 4x (b-a) 2) 5x (c+2k+t) - (k+t)

Математика

Ответить

Ответы

Natalya1070

01.05.2023

1) 4х(a+b)-4x(b-a) = 4xa+4xb-4xb+4xa =8xa 2)5x(c+2k++t)= 5xc+10xk+5xt-k-t

evada2

01.05.2023

решение 1

преобразуем сумму в произведение по формуле

$\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x-y}2\cos\dfrac{x+y}2$

попробуем получить что-нибудь похожее в правой части первого уравнения. пригодятся формулы преобразования суммы косинусов в произведение и формула для косинуса двойного угла:

$\sin x\sin y=\dfrac12\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)=\dfrac12\left(\left(2\cos^2\dfrac{x-y}2-1\right)-.-\left(2\cos^2\dfrac{x+y}2-1\right)\right)=\cos^2\dfrac{x-y}2-\cos^2\dfrac{x+y}2$

таким образом, если обозначить косинус полусуммы за s, а косинус полуразности за a, получится система

$\begin{cases}2as=1\\a^2-s^2=\dfrac34\end{cases}$

из первого уравнения системы a = 1/(2s), подставляем во второе уравнение и после преобразований получаем биквадратное уравнение:

$1-4s^4=3s^2\\4(s^2)^2+3s^2-1=0$

по теореме виета угадываем, что $s^2=-1$ или $s^2=1/4$ ; первый вариант не даёт вещественных решений, из второго следует $s=\pm1/2$ , тогда $a=\pm1$ . возвращаемся обратно к x и y:

1) s = 1/2, a = 1:

$\begin{cases}\cos\dfrac{x+y}2=\dfrac {x-y}2=1\end{cases}\leftrightarrow\begin{cases}x+y=\pm\dfrac{2\pi}3+4\pi n', n'\in\mathbb z\\x-y=4\pi n'', n''\in\mathbb z\end{cases}{cases}x=\pm\dfrac{\pi}3+2\pi (n'+n''=\pm\dfrac{\pi}3+2\pi (n'-n'')\end{cases}, n', n''\in\mathbb z$

2) s = -1/2, a = -1:

$\begin{cases}\cos\dfrac{x+y}2=-\dfrac {x-y}2=-1\end{cases}\leftrightarrow\begin{cases}x+y=2\pi\pm\dfrac{2\pi}3+4\pi m', m'\in\mathbb z\\x-y=2\pi+4\pi m'', m''\in\mathbb z\end{cases}{cases}x=2\pi\pm\dfrac{\pi}3+2\pi (m'+m''=\pm\dfrac{\pi}3+2\pi (m'-m'')\end{cases}, m', m''\in\mathbb z$

можно переписать все полученные решения в виде

$\left(\pm\dfrac\pi3+2\pi n,\pm\dfrac\pi3+2\pi m\right)$ , где $n,m\in\mathbb z$ .

решение 2

возведём второе уравнение в квадрат, применим основное тригонометрическое тождество:

$(1-\cos^2x)(1-\cos^2y)=\dfrac9{16}-\cos x)(1+\cos x)(1-\cos y)(1+\cos y)=\dfrac9{16}$

из первого уравнения сумма косинусов 1, так что 1 - один косинус = другой косинус.

$\cos x\cos y (1+\cos x)(1+\cos y)=\dfrac{9}{16} x\cos y(1+\cos x+\cos y+\cos x\cos y)=\dfrac9{16} x\cos y(2+\cos x\cos y)=\dfrac9{16}$

получилось квадратное уравнение на cos x cos y, его корни -9/4 и 1/4. произведение косинусов по модулю не больше 1, так что единственный вариант cos x cos y = 1/4. совместно с cos x + cos y = 1 получаем, что соs x = cos y = 1/2, откуда $x=\pm\pi/3+2\pi n$ , $y=\pm \pi/3+2\pi m$ , $n,m\in \mathbb z$ , знаки + и - выбираются независимо.

в этом решении был неравносильный переход при возведении в квадрат, могли появиться посторонние решения. подставляя в исходную систему, получаем, что $\sin x\sin y=3/4$ , только если в обоих значениях выбрать одинаковые знаки.