Решить : 14 учеников на олимпиаде решили 58 . однако, что среди них есть ученики, решившие 2 , 3 , 4 . докажите, что есть ученики, решившие не менее 5 .

Если 1 ученик решил 2 задачи, а остальные 13 по 4 задачи,
это всего 2 + 13*4 = 2 + 52 = 54 задачи.
А они решили 58. Значит, кто-то решил больше 4 задач.

Если допустить, что 1 ученик решил 2 задачи, еще 1 - 3 задачи, еще 1 - 4 задачи, то в остальном остается 49 задач на остальных учеников. Допускается, что есть ученики, решившие больше 4 задач

В : О = 2 : 3

О : Н = 5 : 6 > 3 : 5 = 0,6 - доп. множ.

О : Н = (5·0,6) : (6·0,6) = 3 : 3,6

Н : Р = 4 : 9 > 3,6 : 4 = 0,9 - доп. множ.

Н : Р = (4·0,9) : (9·0,9) = 3,6 : 8,1

В : О : Н : Р = 2 : 3 : 3,6 : 8,1 - отношение решённых задач

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1) 2 + 3 + 3,6 + 8,1 = 16,7 - всего частей;

2) 167 : 16,7 = 10 - одна часть;

3) 8,1 · 10 = 81 - столько задач решил Роман.

ответ: 81.

Проверка:

(2·10) + (3·10) + (3,6·10) + (8,1·10) = 20 + 30 + 36 + 81 = 167 - всего задач.

cos(α+β)+2sinαsinβ=cosαcosβ−sinαsinβ+2sinαsinβ=

cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α−β)

если \alpha -\beta=\piα−β=π , то cos(\alpha -\beta ) =cos\pi =-1.cos(α−β)=cosπ=−1.

б)

\frac{sin^{2}\alpha +sin(\pi-\alpha)cos (\frac{\pi }{2} -\alpha) }{tq(\pi+\alpha)ctq( \frac{3\pi }{2} -\alpha ) } = \frac{sin^{2}\alpha +sin\alpha*sin\alpha }{tq\alpha*tq\alpha } =\frac{2sin^{2} \alpha }{tq^{2} \alpha } =\frac{2sin^{2}\alpha }{\frac{sin^{2} \alpha }{cos^{2} \alpha } } =2cos^{2} \alpha .

tq(π+α)ctq(

2

3π

−α)

sin

2

α+sin(π−α)cos(

2

π

−α)

=

tqα∗tqα

sin

2

α+sinα∗sinα

=

tq

2

α

2sin

2

α

=

cos

2

α

sin

2

α

2sin

2

α

=2cos

2

α.

в)

cos7xcos6x+sin7xsin6x=cos(7x-6x)=cosx.cos7xcos6x+sin7xsin6x=cos(7x−6x)=cosx.