Дима написал на доске семь последовательных чисел потом некоторые из них он умножил на 2 остальные на 3 какое наименьшее количество различных результатов они могут получить

Пусть наши последовательные числа:

Интерпретируя условие, нам надо получить наибольшее число значений k и m таких, что

Заметим, что если мы уже выбрали для некоторых k и m множители 2 и 3, то какой бы из множителей 2 и 3 для оставшихся 5 чисел мы не выбрали, ни одно из полученных 5 произведений не равно какому-либо из первых 2. Действительно. Предположим, что существует такое целое l, что верно одно из следующих равенств:

Мы сразу же получим, что для первого случая k=l, для второго l=m, для третьего l=k и для четвертого l=m.
То есть совпасть могут не более 2 результатов (одновременно, несколько пар возможно).
Найдем наибольшее количество таких пар.
Заметим, что 

кратно 3, а

кратно 2.
Они равны, значит  кратно 2, а  кратно 3. Смотрим, какого максимальное количество среди наших 7, чисел кратных 3. Получим 3 (а именно a, a+3, a+6, если a не делится на 3, то их будет ровно 2)
Предположим, что их три. Тогда

Тогда:

Это наши 3 равенства, составленные для наших 3 пар равных чисел. Но одно из чисел a+k, a+k+2, a+k+4 делится на 3, значит это число уже стоит в одном из числителей в левой части. Но, как замечалось ранее, в двух сразу оно стоять не может. То есть либо это число идет с множителем 2 и стоит в левой части одного из равенств, либо с множителем 3 в правой части одного из равенств.
Значит пар одинаковых результатов не более 2. А на это можно привести пример:
Возьмем числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Умножим первое на 3, второе на 2, третье на 3 и пятое на 2, а остальные - как угодно. На количество равных это не повлияет. Получим:

Таким образом минимальное количество различных 5.

ответ: 5

                               Было                 Стало

1-я полка                  7х                    7х - 20

2-я полка                  х                      х + 16

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Уравнение: 7х - 20 = х + 16

                     7х - х = 16 + 20

                     6х = 36

                     х = 36 : 6

                     х = 6 (кн.) - было на второй полке

7х = 7 · 6 = 42 (кн.) - было на первой полке

Відповідь: 42 книги було на першій полиці і 6 книг було на другій полиці.

1)

x-y=6

x=6+y                       6+у+6у+у^2=-4

                                у^2+7у+10=0

                                у1= -2

                                у2= 5

х1= 6+2= 8

х2= 6-5 = 1

ответ: (8; -2) ; (1;5)

5)

у-х+3=0

-х=-3-у

х= 3-у                                      3-у-1=y^2

                                               -у^2-у+2=0

                                               y^2+y-2=0

                                               y1= 1

                                               y2= -2

x1= 3-1 = 2

x2= 3+2 = 5

ответ: (2;1) ; (5;-2)

3)

x-y=1

-y=1-x

y= x-1                                        x^2-2x+2-26=0

                                                x^2-2x-24=0

                                                x1= 6

                                                x2= -4

y1= 6-1 = 5

y2= -4-1 = -1

ответ: (6;5) ; (-4; -1)