Решить систему уравнений x+y=8 xy=-20

Итак, для ограничения по целым степеням не более 27 по модулю, вычислимыми оказались результаты ~957 млн выводов и среди них 356 являются выводами числа 5479 и ни один вывод (а соответственно ни один вывод с операциями сложения, вычитания, конкатенации, умножения и деления, а также некоторые выводы с этими же операциями и некоторыми целыми степенями) не является выводом числа 10958. В чем его особенность?

Призраки и тени

Для задачи, аналогичной задаче Танежи в восходящем порядке, но с начальными векторами длины 8, такими как $(1, 2, ... , 8)$ и $(2, 3, ... , 9)$ количество вариантов меньше, а с иррациональными, комплексными и длинными целыми значениями элементов векторов (1) — (7) справляются оптимизированные алгоритмы Вольфрам Математики. Так, достоверно известно, что ни один вывод в $(1, 2, ... , 9)$, имеющий на 8-ой итерации оператор конкатенации, сложения или вычитания не может привести к значению 10958. Какие возможности для дальнейшего решения это даёт?

Число 10958 является полупростым. И если последняя итерация вывода не содержит сложение, вычитание и конкатенацию, то один из операндов на 8-ой итерации будет гарантировано включать 5479 в некоторой степени, за исключением двух случаев:

когда операнды кратны некоторым комплексно-сопряжённым

когда один из операндов содержит логарифм, основание или показатель которого кратны 5479

Решение

Пусть K — точка пересечения биссектрисы угла ADB с диагональю АС. Поскольку $ \angle$KDB = $ \angle$KCB = 35o, то точки K, B, C, D лежат на одной окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$BKC = $\displaystyle \angle$BDC = 40o, $\displaystyle \angle$ABK = $\displaystyle \angle$BKC - $\displaystyle \angle$BAC = 40o - 20o = 20o.

Тогда AK = BK и радиус окружности, описанной около треугольника AKD, равен радиусу первой окружности ( $ \angle$ADK = $ \angle$KDB = 35o). Поэтому

$\displaystyle \angle$CAD = $\displaystyle \angle$ACD = $\displaystyle {\frac{180^{\circ} - 110^{\circ}}{2}}$ = 35o.

Следовательно, угол между диагоналями равен

$\displaystyle \angle$BDC + $\displaystyle \angle$ACD = 40o + 35o = 75o.

ответ

75o.