Зайдіть площу фігури, обмеженої лініями у=х^2 і у=2х

Удачи в учебе,мой друг!)

ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть:

Тогда уравнение принимает вид:

   

Заметим, что если корень уравнения , то он и корень уравнения:

, действительно:

Найдем все такие корни:

Заметим, что функция - монотонно возрастает.    

Предположим, что в уравнении    существует корень , такой, что  

Рассмотрим случай:   .

Поскольку, - монотонно возрастает, то если для некоторых двух ее аргументов выполнено неравенство: , то верно и данное неравенство:

Из данного утверждения следует, что :

Но   , то есть мы пришли к противоречию.

Аналогично показывается невозможность утверждения для случая

.  Таким образом, других корней помимо нет.

Пошаговое объяснение:

Решение. Введем событие: X = (Среди выбранных хотя бы одно изделие первого сорта).  Рассмотрим противоположное ему событие: X =(Среди выбранных нет изделий первого сорта).  

 

Используем классическое определение вероятности:  

m

P

n = , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех равновозможных элементарных исходов.  

 

3 25

25! 23 24 25

2300

3!22! 1 2 3

n C

⋅ ⋅ = = = = ⋅ ⋅

- число выбрать любые 3 изделия из 25.  

3 10

10! 8 9 10

120

3!7! 1 2 3

m C

⋅ ⋅ = = = = ⋅ ⋅

- число различных выбрать 3 изделия второго сорта  

(из 10).  Искомая вероятность равна ( ) ( ) 120 109 1 1 1 0,948. 2300 115 m P X P X n = − = − = − = ≈  

 

ответ: 0,948.  

 

 

 

Задача 2. На отрезке [ ] 0;2 наудачу выбраны два числа x и y . Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству 2 4 4 x y x ≤ ≤ .  

 

Решение. Используем геометрическое определение вероятности. Сделаем схематический чертеж. Берем числа , x y из квадрата [ ] [ ] 0;2 0;2 × .  

 

Рассмотрим условие 2 4 4 x y x ≤ ≤ Строим линии:  

1)  

2

2 4 , . 4 x y x y ≤ ≤

 область выше параболы  

2

4 x y = .  

2)  

4 4 , . y x y x ≤ ≤

область ниже прямой y x = .  

 

Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей  

 

 

 

Таким образом, вероятность p равна отношению площади закрашенной фигуры (в которой выполняются условия 1 и 2) к площади всей фигуры (квадрата):  

.

.

фиг

квад

S

p

S =  

 

Площадь квадрата . 2 2 4 квадS = ⋅ = .  Площадь закрашенной области  22 2 2 3 2 3 . 0 0 1 1 1 1 4 2 2 . 4 2 12 2 12 3ô èã x S x dx x x       = − = − = − =            ∫  

 

Тогда вероятность .

.

4/3 1

0,333

4 3

ô èã

êâàä

S

p

S = = = = .  

 

ответ: 0,333.  

 

 

 

Задача 3. Дана схема включения элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение времени Т равна 0,5. Вычислить вероятность отказа всей цепи.  

 

 

 

Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей  

 

 

Решение. Рассмотрим события:  

i A  = (Элемент с номером i  откажет), 1,...,6 i = , ( ) 0,5 i P A = , ( ) 0,5 i P A = .  

Искомое событие B = (Цепь откажет), противоположное ему: B = (Цепь работает безотказно).  Выразим событие B через i A . Учитываем, что последовательному соединению отвечает произведение событий, а параллельному – сумма событий. ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 B A A A A A A = ⋅ + ⋅ + + .  

 

Выразим вероятность события B .  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 3 1 1 1 1 1 1 0,5 1 0,5 1 0,5 0,672. P B P B P A A A A A A P A P A A P A A A P A P A P A P A P A P A = − = ⋅ + ⋅ + + = = − ⋅ + ⋅ + + = = − ⋅ − ⋅ − = = − ⋅ − ⋅ − ≈

 

 

Использовали формулу для независимых в совокупности событий 1,... n A A :  

1 2 1 2 1 2 1 2 ( ... ) 1 ( ... ) 1 ( ... ) 1 ( ) ( ) ... ( ) n n n n P A A A P A A A P A A A P A P A P A + + + = − + + + = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ .  

 

ответ: 0,672.  

 

 

Задача 4. Детали изготавливаются на двух станках. На первом станке – 40%, на втором – 60%. Среди деталей, изготовленных на первом станке, брак составляет 2%, на втором – 1,5%. Для контроля случайным образом взята 1 деталь. Найти вероятность событий: А) деталь бракованная,  Б) деталь изготовлена на 1 станке, если при проверке она оказалась не бракованной.  

 

Решение. Введем полную группу гипотез: 1H = (Деталь изготовлена первым станком), 2H = (Деталь изготовлена первым станком).  

 

По условию: ( 1) 0,4 P H = , ( 2) 0,6 P H = .  

 

Введем событие A = (Деталь оказалась бракованной). Условные вероятности даны в задаче: ( | 1) 0,02 P A H = , ( | 2) 0,015 P A H = .  

 

1) Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности  ( ) ( | 1) ( 1) ( | 2) ( 2) 0,4 0,02 0,6 0,015 0,017 1,7%. P A P A H P H P A H P H = + = ⋅ + ⋅ = =  

 

2) Найдем вероятность ( ) 1| P H A того, что деталь изготовлена на первом станке, если она при проверке оказалась без брака.