Найти все значения q из условия, что корнями уравнения: x^4+10x^3+37x^2+px+q=0 являются две пары равных между собой чисел

Пусть эти корни m и n
Теорема Виетта

2m+2n= -10
m^2+n^2+4mn=37

mn =6
m+n= -5
m= -3
n= -2
q= m^2*n^2= 36

Считаем площадь фигуры между двумя графиками по формуле

S= \int\limits^a_b {((f(x)-g(x))} \, dxS=

b

∫

a

((f(x)−g(x))dx ,

где f(x)- кривая, график, которой расположен выше кривой у=g(x);

a и b - абсциссы точек пересечения графиков; a<b.

Строим графики функций ( см. рис. в приложении):

у=4х-х²- парабола, ветви которой направлены вверх, точки пересечения с осью Ох:

х=0; х=4

Координаты вершины (2;4).

у=4-х - прямая, проходящая через точки (0;4) и (4;0).

Находим абсциссы точек пересечения графиков функций:

4х-х²=4-х;

х²-5х+4=0

D=25-4·4=9

x=(5-3)/2=1 или х=(5+3)/2=4

\begin{gathered}S= \int\limits^4_1 {((4x- x^{2})-(4-x))} \, dx= \\ \\ =\int\limits^4_1 {(4x- x^{2}-4+x)} \, dx= \\ \\ = \int\limits^4_1 {(5x- x^{2}-4)} \, dx= \\ \\ =( 5\cdot \frac{ x^{2} }{2} - \frac{x^3}{3}-4x)| ^4_1= ( 5\cdot \frac{ 4^{2} }{2} - \frac{4^3}{3}-4\cdot 4)-( 5\cdot \frac{ 1^{2} }{2} - \frac{1^3}{3}-4)=\end{gathered}

S=

1

∫

4

((4x−x

2

)−(4−x))dx=

=

1

∫

4

(4x−x

2

−4+x)dx=

=

1

∫

4

(5x−x

2

−4)dx=

=(5⋅

2

x

2

−

3

x

3

−4x)∣

1

4

=(5⋅

2

4

2

−

3

4

3

−4⋅4)−(5⋅

2

1

2

−

3

1

3

−4)=

40 - \frac{64}{3}-16- \frac{5}{2} + \frac{1}{3}+4=4,540−

3

64

−16−

2

5

+

3

1

+4=4,5

кв. ед.

О т в е т. S=4,5 кв. ед.

(От лица зрителя) Я нахожусь в Афинах. О, как же интересно наблюдать за всем происходящим. Кругом атлеты, борцы, бегуны, и метатели копья. Возможно, вы не знаете, о правилах этих игр?! Сейчас я вам, расскажу: Правила запрещают убивать противника, прибегать к недозволенным приемам, спорить с судьями. Победители торжественно награждаются венками из дикой сливы, росшей около храма Зевса. Участниками, стать совсем не просто. Надо пройти интенсивную подготовку, после чего сдать своеобразный экзамен комиссии элланодиков. После выполнения «олимпийского норматива» будущим участникам Олимпийских игр еще месяц надо готовится по специальной программе – уже под руководством элланодиков. Смотрите, прямо сейчас игроки дают клятву соблюдать правила. Да.. не повезет, тому, кто соврет. Он подвергнется телесным наказаниям. Вот прямо сейчас бегут несколько бегунов, и вперед вырывается Тимон (выдуманное имя). К сожалению, я не смогу рассказать вам все о происходящем сейчас, так как вам пора возвращаться на урок. (КОНЕЦ) Если спросят откуда взяла про элланодиков, скажи, что воспользовалась, дополнительной информацией!:)