1. какой цифрой оканчивается результат произведения 3∙3∙3∙…∙3 (произведение 2017 множителей, каждый из которых равен 3)? 2. на пяти карточках написаны цифры: 0; 1; 2; 3; 5. сколько четырехзначных четных чисел можно составить из этих карточек? с нуля число начинаться не может.

1.Заметим, что цифры на которые оканчиваются степени тройки повторяются через каждые четыре шага: 3^1=1, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81 и 3^5=243. На пятом шаге вновь имеем тройку на конце. Поскольку исходное число у нас 3^2017, то достаточно рассмотреть равенство вида 2017=4k+m, где k и m - некоторые натуральные. Это легко сделать: 2017=4*504+1. Поскольку m=1, то получаем, что число 3^2017 оканчивается на цифру 3.

2. Поскольку наши числа должны быть четными, то они могут оканчиваться только на 0 или на 2. Пусть оно оканчивается на 0. Тогда имеем оставшиеся четыре цифры 1, 2, 3 и 5. Из них нам нужно составить всевозможные тройки, т. е. размещения из четырех элементов по три: A(3,4)= 4!/(4-3)!=4!=1*2*3*4=24. Т. е. имеем 24 четных четырехзначных числа, оканчивающихся на 0. Пусть теперь искомые числа оканчиваются на 2. Общее число размещений вновь будет равно 24, но теперь нам нужно из этой суммы вычесть количество чисел, начинающихся с нуля, поскольку это невозможно. Число чисел, начинающихся с нуля будет равно числу перестановок порядка 3, поскольку у нас остались лишь 3 цифры - 1, 2 и 3, т. е. 3! =1*2*3=6. Т. о. число четырехзначных четных чисел, оканчивающихся на 2 будет 24 - 6 = 18. Общее число четырехзначных четных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 и 5 будет равно 24+18 = 42.

ответ: 1. На цифру 3. 2. 42 числа.

2.48 четырех значных чисел можно составить

Пусть А - множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре,
Г - множество абитуриентов, решивших задачу по геометрии,
Т- множество абитуриентов, решивших задачу по тригонометрии.
Дано |А|=20, |Г|=18, |Т|=18, |А∩Г|=8,|А∩Т|=9, |Г∩Т|=8.
Т.к. из 40 учащихся 3 не решили ни одной задачи,
то |А∪Г∪Т|=40-3=37 человек решили хотя бы 1 задачу.

Формула включений и исключений для трёх множеств. Для любых конечных множеств A, B и C справедливо равенство |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Отсюда получаем:
|A ∩ Г ∩ Т|=|A ∪ Г ∪ Т| - |A| - |Г| - |Т| + |A ∩ Г| + |Г ∩ Т| + |A ∩ Т|
|A ∩ Г ∩ Т|=37-20-18-18+8+9+8=6 человек решило 3 задачи
ответ: 6 человек.

Пятых классов в школе - 3
шестых классов - 3
в каждом пятом классе учится - по 32 ученика
в 6 "А" - 30 учеников
в 6 "Б" - 31 ученик
в 6 "В" - 30 учеников
в один автобус - 36 детей
автобусов надо - ?

1) 32 * 3 = 96 (уч) - учеников во всех пятых классах
2) 30 + 31 + 30 = 91 (уч) - учеников во всех шестых классах
3) 96 + 91 = 187 (уч) - учеников в пятых  шестых классах вместе
4) 187 : 36 = 5 (ост. 7) - надо автобусов
Так как 187 не делится на цело на 36, остаётся остаток, а заказать пол автобуса нельзя и оставить 7 учеников тоже нельзя, то для экскурсии закажут 6 автобусов.

ответ: 6 автобусов