Знайка составил огромное число, выписав подряд натуральные числа от 1 до 2017: . незнайка стёр у этого числа первые 2018 цифр. как вы думаете, с какой цифры начинается оставшееся число?

С 1 по 9 - 9 цифр
с 10 по 99 - 90*2 = 180 цифр

2018 - 189 = 1829 цифр осталось зачеркнуть

зачеркиваются трехзначные числа

1829: 3 = 609 (ост 2)

третья цифра в 610-ом трехзначном числе искомая

610-ое число: 100 + 609 = 709

третья цифра - 9

ответ: 9 

                           В

                           /\               D

                         /    \            /

                       /        \        /

                     /            \    /

               А  /\/ С

 

                   

                  ABC_ _ _ _ _ _ _D

 

                  ABC_ _ _ _ _ _ _A

 

По условию АВ+ВС+СD = AB+BC+AC, значит,

                               СD = AC

По условию СД+АС=56см, значит, СD=AC= 56:2=28(см)

АВ+СD=62

АВ=62-28=34(см)

ВС=АС-8

ВС=28-8=20(см)

Длина ломаной АВСD=АВ+ВС+АС= 34+20+28=82(см)

Как минимум взаимно простыми эти числа могут быть. Например, при а=b=1 получим a+b=2 и a²-ab+b²=1-1+1=1.

Предположим, что НОД(a+b, a²-ab+b²)=d>1.
Т.к. 3ab=(a+b)²-(a²-ab+b²), то 3ab делится на d. Если d≠3, то в разложении числа d на простые существует простой делитель р, который делит произведение ab, а значит р делит или а или b. Если бы p делило а, то оно делило бы и b, т.к. b=(a+b)-a, но тогда а и b не были бы взаимно простыми. Значит p не делит a. Аналогично, p не делит b. Значит для d остается единственная возможность d=3. Легко видеть, что при a=2 и b=1, получим a+b=3 и a²-ab+b²=4-2+1=3. Итак,  НОД(a+b,a²-ab+b²) может принимать только два значения 1 или 3.