(это лемма турана) в графе 2n вершин и n^2+1 ребро. доказать, что в графе есть хотя бы один треугольник.можно подробно и понятно,

Построим таблицу 2n×2n (см. рис). Столбцы и строки обозначают вершины (они занумерованы числами от 1 до 2n). Если какие-то вершины соединены ребром, то на соответствующем пересечении столбца и строки напишем 1. Например, если вершины 4 и 2 соединены ребром, то на пересечении 4 столбца и 2 строки напишем 1. Поскольку 4 столбец и четвертая строка отвечают за одну и ту же вершину, можем обрезать таблицу пополам (по линии диагонали). Заметим, если три вершины образуют треугольник, то единицы, соответствующие этим соединениям образуют прямоугольный треугольник (если мысленно их соединить в таблице). Также, любой двойке единиц в конкретном столбце соответствует единственная единица в соответствующей строке, такая что они втроем образуют треугольник. Например, на рисунке красные единицы образуют треугольные, а синие - нет. При этом двойке красных единиц в 4-ом столбце соответствует единственная 1-ца, такая, что они вместе образуют треугольник (если бы третья единица была в 3-ем столбце, 1 строке, то треугольник не образовывался). Значит общее число треугольников в графе соответствует сумме комбинаций двоек в каждом столбце. Пусть в первом столбце n₁ единиц, во втором n₂ и т.д. Значит общее число треугольников равно (*); Заметим, что минимальное значение выражения A²-A для натуральных чисел равно 1. Раз  , то с учетом (*), минимальное количество треугольников равно 2n/2 = n; То есть ясно, что хотя бы один треугольник образуется

Каждое ребро куба увеличили на 40%. На сколько процентов увеличился обьем куба? На сколько процентов увеличилась площадь его поверхности?пусть х-длина ребра куба, тогда первоначальная S1= х2*6, а V1= х3После увеличения на 40% получим S2=(0,4x)^2*6=0,16x2*6=0,96x2V2=(0,4x)^3=0,064x3S1-S2=0,04V1-V2=0,936 ((S2-S1)/S2)*100=4%((V2-V1)/V2)*100=93,6%х - ребро куба. 1,4*х - увеличенное ребро Объем куба х*х*х. Увеличенный объем Отношение объемов -  (раза) Площадь поверхности одной стороны х*х, всего куба 6*х*х Площадь поверхности увеличенного куба 6*1,4*1,4*х*х Отношение площадей поверхности 1,4*1,4=1,96 (раза)

Решим задачу на счёт.
Всего в классе 30 учеников, сидящих по двое за 15 партами. Половина всех девочек сидит с мальчиками.
Только половина девочек сидит с мальчиками, значит вторая половина сидят "девочка - девочка." 
Пусть мальчиков х человек, тогда девочек 2х человек (х - сидят с мальчиками+х сидят девочка-девочка)
х+2х=30
3х=30
х=10 (мальчиков)
2х=2*10=20 (девочек)
10 девочек сидят с 10 мальчиками (10 парт)
10 девочек сидят по двое (5 парт)
 
Можно ли учеников класса пересадить так, чтобы половина всех  мальчиков сидела с девочками?
Половина всех мальчиков равна 10:2=5 человек
С ними за партой сидят 5 девочек.
Оставшихся девочек 20-5=15 человек
Оставшихся мальчиков 10-5=5 человек
Оставшихся парт 15-5=10 парт.
Остальная половина мальчиков должна сидеть (мальчик+мальчик)
Значит, 4 мальчика сидут с друг другом и займут 2 парты; 1 мальчик займет одну парту. Всего 3 парты.
10-3=7 парт останется для 15 девочек.
14 девочек посадят за 7 парт (7*2=14) по двое, а последней не хватит места. Только в паре с мальчиком, который сидит один. Тогда больше, чем половина мальчиков, станет сидеть в паре с девочками (из 10 мальчиков - 6 мальчиков с девочками)
6 мальчиков+6 девочек=12 человек (6 парт)
2 мальчика+2 мальчика=4 человека (2 парты)
7 девочек+7 девочек=14 человек (7 парт)
ответ: нельзя учеников рассадить так, чтобы половина всех  мальчиков сидела с девочками.