Дорога из пункта а в пункт в идёт сначала в гору, а потом под гору. велосипедист, двигаясь на подъёме со скоростью 0, 2 км/мин, а на спуске со скоростью 0, 3 км/мин, проехал расстояние ав за 45 мин. возвращаясь обратно, он на подъёме и спуске двигался соответственно с теми же скоростями, что и на пути из а в в, и затратил на обратный путь 42, 5 мин. найди длину каждого отрезка пути и расстояние ав.

Пусть вершина горы  - т.С
Расстояние АС =СА  = х км
Расстояние СВ = ВС = у  км
Время на путь АВ :
х/0,2    +  у/0,3  =  45  (мин)
Время на путь ВА :
у/0,2   +  х/0,3  = 42,5 (мин.)
 
Система уравнений:
{ х/0,2   + у/0,3  = 45       |*0.6    
{ y/0,2   + x/0,3 =  42,5    |*0.6

{3x + 2y = 27        ⇔  { 2y = 27-3x       ⇔{ y= 3(9-x)/2     ⇔  {y=1.5(9-x)
{3y + 2x = 25.5     ⇔   { 3y +2x = 25.5 ⇔ {3y +2x = 25.5 ⇔  {3y +2x = 25.5
3*1.5(9-x)  + 2x = 25.5
40.5 - 4.5x + 2x = 25.5
40.5 -2.5x =25.5
2.5x  = 40.5 - 25.5
2.5x= 15
x= 15 : 2,5 
х = 6  (км)  расстояние АС=СА
у = 1,5 * ( 9 - 6) = 1,5 * 3
у = 4,5 (км) расстояние СВ=ВС
6 + 4,5  = 10,5 (км) расстояние  АВ=ВА 

Проверим:
6/0,2   +  4,5/0,3  = 30  + 15 = 45 (мин.) время на путь АВ
4,5/0,2   + 6/0,3  = 22,5 + 20 = 42,5 (мин.) время на путь ВА

Пусть х - скорость грузовика.
Тогда х + 30 - скорость легковой машины..
х + х + 30 - скорость сближения

1) 288:2 = 144 км - была бы скорость сближения, если бы автомобили встретились через 2 часа, но их скорость сближения оказалась меньше.
х + х + 30 < 288/2
2х + 30 < 144
2х < 144-30
2х < 114
х < 114:2
х < 57 км/ч - скорость грузовика.

2) 288:3 = 96 км/ч была бы скорость удаления автомобилей друг от друга.
х + х + 30 > 288/3
2х + 30 > 96
2х > 96-30
2х > 66
х > 33 км/ч - скорость грузовика.

ответ: 33 км/ч < скорость грузовика < 57 км//ч

Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника

Радиус описанной окружности

Из условия 
или 


Возведем в квадрат обе стороны

  =>   
Выразим катеты через гипотенузу и углами

Теорема Пифагора

Получается следующее     
Теперь найдем произведение углов с формулы для нахождения площади
или  

В начале мы выразили площадь через гипотенузу
 


Теперь из выражения   получаем следующее  
 

Подставляем 

Теперь осталось найти углы





Так в промежутке от 0  до 90 синус возрастает то  
будет наибольшим острым углом в градусах будет приблизительно 53