Покажите что даную дробь можно сократить на 7 14×8 35×17

14 и 35 сократим на 7, получится 2*8 в числителе, 5*17 в знаменателе

Пусть мы вписали (n-2) числа
между 1 и 31,
тогда
Имеем арифметическую прогрессию
1, 1+d, 1+2d,...1+(n-2)d, 31
a¹=1
a²=1+d
a³=1+2d
...
аⁿ-²=1+(n-3)d
aⁿ-¹=1+(n-2)d
aⁿ=31
d- разность прогрессии

сумма вписанных членов прогрессии будет равна
сумме прогрессии
от 1 до 31
минус сами числа 1 и 31:

S(a²aⁿ-¹)=S(1 ...31)-1-31=
=½(1+31)n-32=16n-32=
=16(n-2)

сумма наибольших вставленных
между 1 и 31 членов прогрессии будет равна:
1+(n-2)d +1+(n-3)d=
=2+(2n-5)d
по условию
16(n-2)=4(2+(2n-5)d)
4(n-2)=2+(2n-5)d
4n-10=(2n-5)d
d=2
...
замечаем,что
aⁿ-¹=aⁿ-d
1+(n-2)d==31-d
(n-1)d=30
n-1=30/d
n=16

А вставили мы (n-2)=14 чисел

То есть между 1 и 31 вставлены числа:
3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27 и 29
Всего этих чисел 14

ответ: 14 чисел

Наименьшее расстояние между двумя точками измеряется по прямой линии, соединяющей эти точки.

1) Саша и Маша живут по одну сторону дороги. Построим точку С, симметричную дому Саши относительно линии дороги : АВ=ВС; АВ⊥ВМ. Соединим точку С с домом Маши, а на пересечении с линией дороги поставим точку М.

В треугольнике АМС : МВ одновременно высота и медиана, значит, треугольник АМС - равнобедренный. АМ = СМ

Так как расстояние между домом Маши и точкой С наименьшее по построению, значит, путь Саши к дому Маши с посещением магазина в точке М будет самым коротким.

=========================================

2) Саша и Таня живут по разные стороны от дороги. Условно подвинем дом Тани в сторону дороги на расстояние ширины дороги и поставим точку Т. Соединим дом Саши и точку Т прямой линией и на пересечении с линией дороги со стороны Сашиного дома поставим точку В. Здесь и будет пешеходный переход ВА, перпендикулярный линии дороги.

Четырёхугольник ABTK : AB║TK - два перпендикуляра к линии дороги, АВ=ТК - ширина дороги. В четырёхугольнике АВТК две противоположные стороны равны и параллельны, значит, АВТК - параллелограмм, то есть АК=ВТ.

Так как расстояние между Сашиным домом и точкой Т было наименьшим по построению и АК=ВТ, следовательно, путь от Сашиного дома к Таниному по пешеходному переходу ВА будет самым коротким.