Планы каких сражений вы уже рассматривали на уроках окружающего мира

То что я знаю:
Ледовое побоище
Невская битва

на плоскости:

1)  пролегает мимо окружности

2) пролегает через центр окружности

3) прямая имеет 2 точки касания с окружностью

4) прямая имеет 1 точку касания с окружностью

в мимо окружности в перпендикулярной плоскости

6) мимо окружности под углом к плоскости окружности

7) пролегает через центр окружности в перпендикулярной плоскости

8) пролегает через центр окружности под углом к плоскости окружности

9) прямая имеет 1 точку касания с окружностью в перпендикулярной плоскости

10)  прямая имеет 1 точку касания с окружностью под углом к плоскости окружности

11) прямая имеет 1 точку касания с кругом в перпендикулярной плоскости

12) прямая имеет 1 точку касания с кругом под углом к плоскости окружности

Как составить уравнение биссектрисы треугольника по координатам его вершин Используя уравнение биссектрисы угла:

 

 

Пример.

Даны вершины треугольника A(-5;4), B(7;-1) и C(3;10).

1) Составить уравнение биссектрисы треугольника ABC, выходящей из вершины A.

2) Найти длину этой биссектрисы.

1) Угол A образован прямыми AB и AC. Составим уравнения этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через две точки, можно найти, например, по формуле  

 

 

Уравнение прямой AB:

 

 

 

 

Уравнение прямой AC:

 

 

 

 

Подставляем уравнения прямых AB и AC в формулы уравнения биссектрис угла:

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

то есть

 

 

и

 

 

Из этих уравнений является уравнением биссектрисы внутреннего угла BAC треугольника, другое — биссектрисой внешнего угла при вершине A. Как отличить уравнение биссектрисы внутреннего угла?

Точки B и C лежат по одну сторону от биссектрисы внешнего угла, поэтому при подстановке координат B и C в уравнение мы получим числа одинакового знака. От биссектрисы внутреннего угла B и C лежат по разные стороны, поэтому подстановка их координат в уравнение биссектрисы внутреннего угла даёт нам числа разных знаков.

Подставляем в уравнение x-8y+37=0 координаты B и C.  

B(7;-1):  7-8·(-1)+37>0

C(3;10):  3-8·10+37<0.

Таким образом, уравнение x-8y+37=0 является уравнением биссектрисы AF треугольника ABC.

2) Чтобы найти длину биссектрисы, найдём точку пересечения прямых AF и BF.

Уравнение прямой BC:

 

 

 

 

Координаты точки пересечения прямых AF и BC находим из системы уравнений  

 

 

Решение системы —  

 

 

Длину биссектрисы AF находим по формуле расстояния между точками A и F:

 

 

 

 

 

 

Пошаговое объяснение:

Как составить уравнение биссектрисы треугольника по координатам его вершин Используя уравнение биссектрисы угла:

 

 

Пример.

Даны вершины треугольника A(-5;4), B(7;-1) и C(3;10).

1) Составить уравнение биссектрисы треугольника ABC, выходящей из вершины A.

2) Найти длину этой биссектрисы.

1) Угол A образован прямыми AB и AC. Составим уравнения этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через две точки, можно найти, например, по формуле  

 

 

Уравнение прямой AB:

 

 

 

 

Уравнение прямой AC:

 

 

 

 

Подставляем уравнения прямых AB и AC в формулы уравнения биссектрис угла:

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

то есть

 

 

и

 

 

Из этих уравнений является уравнением биссектрисы внутреннего угла BAC треугольника, другое — биссектрисой внешнего угла при вершине A. Как отличить уравнение биссектрисы внутреннего угла?

Точки B и C лежат по одну сторону от биссектрисы внешнего угла, поэтому при подстановке координат B и C в уравнение мы получим числа одинакового знака. От биссектрисы внутреннего угла B и C лежат по разные стороны, поэтому подстановка их координат в уравнение биссектрисы внутреннего угла даёт нам числа разных знаков.

Подставляем в уравнение x-8y+37=0 координаты B и C.  

B(7;-1):  7-8·(-1)+37>0

C(3;10):  3-8·10+37<0.

Таким образом, уравнение x-8y+37=0 является уравнением биссектрисы AF треугольника ABC.

2) Чтобы найти длину биссектрисы, найдём точку пересечения прямых AF и BF.

Уравнение прямой BC:

 

 

 

 

Координаты точки пересечения прямых AF и BC находим из системы уравнений  

 

 

Решение системы —  

 

 

Длину биссектрисы AF находим по формуле расстояния между точками A и F: