Найти значения а, при каждом из которых уравнение ax^2+2(a+3)x+(a+4)=0 имеет два корня, расстояние между которыми больше 2

Два корня будет, если дискриминант будет больше нуля:



Также один корень будет, если а = 0 и квадратное уравнение превратится в линейное.

Расстояния между корнями больше 2. Напишем сначала, чему равны корни:


Найдём модуль разницы между корнями - это и будет искомое расстояние:


ответ: a ∈ (1- \sqrt{10}; 0) ∪ (0; 1+ \sqrt{10})

Ax^2 + 2(a+3)x + (a+4) = 0
Во-первых, при а = 0 квадратное уравнение вырождается в линейное
6x + 4 = 0; x = -2/3 - один корень, что нам не подходит.
Во-вторых, при а не = 0 имеем
D/4 = (a + 3)^2 - a(a + 4) = a^2 + 6a + 9 - a^2 - 4a = 2a + 9
При a < -9/2 будет D < 0, корней нет. Не подходит.
При a = -9/2 будет D = 0, тогда будет 1 корень (точнее, 2 равных корня).
x = -(a+3)/a = -(-9/2 + 3) / (-9/2) = (-3/2)*2/9 = -1/3. Не подходит.
При a > -9/2 будет 2 разных корня


Нам нужно, чтобы расстояние между корнями было больше 2
|x1 - x2| > 2
Возможно 2 случая

1) x1 > x2, тогда |x1 - x2| = x1 - x2
x1 - x2 > 2



Делим все на (-2)

Корень арифметический, то есть неотрицательный.
Поэтому, если a > 0, то и числитель и знаменатель > 0, решений нет.
Если a ∈ (-9/2; 0) по области определения, то
√(2a + 9) + a > 0
√(2a + 9) > -a
2a + 9 > a^2
a^2 - 2a - 9 < 0 (при этом мы помним, что a < 0)
D = 4 + 4*9 = 40
a1 = (2 - √40)/2 = (2 - 2√10)/2 = 1 - √10 ∈ (-9/2; 0) - подходит
a2 = (2 + √40).2 = 1 + √10 > 0
Решение неравенства a ∈ (1 - √10; 1 + √10)
С учетом, что a ∈ (-9/2; 0)
Решение: a ∈ (1 - √10; 0)

2) x2 > x1, тогда |x1 - x2| = x2 - x1



Делим все на 2

Если a ∈ (-9/2; 0) по области определения, то
√(2a + 9) - a < 0
√(2a + 9) < a
Так как корень арифметический, то √(2a + 9) > 0, а по условию a < 0
Поэтому это неравенство решений не имеет.

Если a > 0, то
√(2a + 9) - a > 0
√(2a + 9) > a
2a + 9 > a^2
a^2 - 2a - 9 < 0 (при этом мы помним, что a > 0)
a1 = 1 - √10 < 0 - не подходит
a2 = 1 + √10 > 0 - подходит
Решение неравенства: (1 - √10; 1 + √10)
С учетом, что a > 0
Решение: a ∈ (0; 1 + √10)

ответ: a ∈ (1 - √10; 0) U (0; 1 + √10)

1. а) На 5 делятся числа, которые кончаются на 5 и на 0.

4875, 2520, 1270.

б) На 9 делятся числа, у которых сумма цифр делится на 9.

4+8+7+5 = 24 - нет.

2+5+2+0 = 9 - да.

1+2+7+0 = 10 - нет.

1+7+1+9 = 18 - да.

в) На 10 делятся числа, которые кончаются на 0.

2520 и 1270.

2. а) 126/318 = 21/53. б) 330/390 = 33/39 = 11/13.

3. Белых роз 25, красных 25*3 = 75, желтых 25+15 = 40.

5 одинаковых букетов по 5 белых роз, 15 красных и 8 желтых.

4. 21mn / (7m) = 21/7 * mn/m = 3*n

5. После того, как одна библиотека передала другой 60 книг, стало всего 792 книги, и во 2-ой библиотеке в 2 раза больше, чем в 1-ой.

Значит, в 1-ой библиотеке стало 792/3 = 264 книги, во 2-ой 528 книг.

Это после того, как 1-ая библиотека передала 2-ой 60 книг.

Значит, сначала было в 1-ой 264+60 = 324 книги, а во 2-ой 468 книг.

1. а) На 5 делятся числа, которые кончаются на 5 и на 0.

4875, 2520, 1270.

б) На 9 делятся числа, у которых сумма цифр делится на 9.

4+8+7+5 = 24 - нет.

2+5+2+0 = 9 - да.

1+2+7+0 = 10 - нет.

1+7+1+9 = 18 - да.

в) На 10 делятся числа, которые кончаются на 0.

2520 и 1270.

2. а) 126/318 = 21/53. б) 330/390 = 33/39 = 11/13.

3. Белых роз 25, красных 25*3 = 75, желтых 25+15 = 40.

5 одинаковых букетов по 5 белых роз, 15 красных и 8 желтых.

4. 21mn / (7m) = 21/7 * mn/m = 3*n

5. После того, как одна библиотека передала другой 60 книг, стало всего 792 книги, и во 2-ой библиотеке в 2 раза больше, чем в 1-ой.

Значит, в 1-ой библиотеке стало 792/3 = 264 книги, во 2-ой 528 книг.

Это после того, как 1-ая библиотека передала 2-ой 60 книг.

Значит, сначала было в 1-ой 264+60 = 324 книги, а во 2-ой 468 книг.