Втреугольнике abc с углом b, равным 120, биссектрисы ae, bd и cm пересекаются в точке o. докажите, что угол dmo = 30.

AB=c; BC=a; CA=b

1) Известная формула для длины биссектрисы, благодаря тому, что угол B = 120 градусов, дает 

2) По свойству биссектрисы . Но и BD - биссектриса  (пояснение: CD=x; DA=y; x:y=a:c; x+y=b, отсюда выражаем x). 

3)
Следовательно, DE - биссектриса угла BDC.  Аналогично, DM - биссектриса угла ADB. Поскольку эти углы смежные, угол между их биссектрисами равен 90 градусов: 

4) Пусть DE и CM пересекаются в точке F; поскольку они являются биссектрисами треугольника BDC, BF является третьей биссектрисой этого треугольника, а поскольку угол DBC равен 60 градусов, угол DBF равен 30 градусов, а  тогда угол ABF равен 90 градусов.

5) Таким образом, в четырехугольнике BMDF углы B и D - прямые, их сумма равна 180 градусов, а тогда вокруг этого четырехугольника можно описать окружность.

6) Остается заметить, что углы DMF и DBF вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу; следовательно, они равны. Но угол DBF равен 30, значит, и угол DMF=углу DMO = 30 градусов

(2 1/6 - 3 3/8) * 24 + 1 1/8 : (-3 3/4) = - 29,3

1) 2 1/6 - 3 3/8 = 2 4/24 - 3 9/24 = (-1 5/24)
2) (-1 5/24) * 24 = (-29/24) * 24 = - 29
3) 1 1/8 : (-3 3/4) = 9/8 : (-15/4) = 9/8 * (-4/15) = - (3*1)/(2*5) = - 3/10 = - 0,3
4) (-29) + (-0,3) = - (29 + 0,3) = - 29,3 

Пояснения: 
1) Общий знаменатель 24
24 : 6 = 4 - доп.множ. к 1/6 = (1*4)/(6*4) = 4/24
24 : 8 = 3 - доп.множ. к 3/8 = (3*3)/(8*3) = 9/24
2) 1 5/24 = (1*24+5)/24 = 29/24 - смешанное число перевели в неправильную дробь
3) 1 1/8 = (1*8+1)/8 = 9/8 - неправильная дробь
3 3/4 = (3*4+3)/4 = 15/4 - неправильная дробь  

Из условия, для первой строки имеем:

А + (А/3) + (А/4) = а,     (19А)/12 = а

Тогда получим первую строку:

А = 12а/19;  В = 4а/19;  С = 3а/19

(к сожалению 8273 на 19 не делится, поэтому и прибегаем к такой сокращенной записи)

Рассмотрим 2-ую строку:

Пусть D = х, тогда Е = 13х (по условию). Предположим, что F = 3457

Тогда получим уравнение для х:

х + 13х + 3457 = 8273,  14х = 4816,  х = 344.

Заполняем вторую строку:

D = 344;  Е = 13*344 = 4472;  F = 3457 (из условия и нашего предположения).

Теперь по столбцам заполним 3-ю строку:

G= a - (12/19)a - 344 = 51375/19

H = a - (4/19)a - 4472 = 39127/19

I = a - (3/19)a - 3457 = 66685/19

Проверим получится ли в сумме 8273:

51375/19   +   39127/19   +   66685/19  = 8273. Значит наше предположение, что F = 3457 - оказалось верным.

Вернемся к первой строке и подставим вместо а 8273:

А = 12а/19 = 99276/19;

В = 4а/19 = 33092/19;

С = 3а/19 = 24819/19.

99276/19 (А)               33092/19  (В)                24819/19  (С)

 

  344   (D)                       4472    (E)                     3457       (F)

 

51375/19  (G)              39127/19  (H)                66685/19   (I)