Федя время от времени смотрит на часы, висящие на стене, и записывает , куда указывает секундная стрелка. у него получился такой список вверх, влево, вниз, вверх, вверх. какое наименьшее время могло пройти между первой и последней записями? !

Стрелка движется по схеме: "вверх"-"вправо"-"вниз"-"влево"-"вверх". Переход из состояния в соседнее состояние длится 15 секунд.
В начальный момент времени стрелка была в положении "вверх". для перехода в положение "влево" ей нужно пройти две позиции "вправо" и "вниз". То есть положение "влево" - третья позиция, всего 3·15с=45с.
Аналогично, при переходе из состояния "влево" состояние "вниз" является третьим по счету - это еще 45с.
При переходе из состояния "вниз" состояние "вверх" является вторым по счету - это 30с.
Два подряд идущих состояния "вверх", при условии, что они были замечены в разные моменты времени, означают, что между их фиксацией стрелка хотя бы один полный круг, то есть на это понадобилось минимум 60с.
Итого: 45с+45с+30с+60с=180с=3мин
ответ: 3 минуты

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент: b = 1 + 0,01a.
После первой выплаты сумма долга составит:
S1 = Sb − X.
После второй выплаты сумма долга составит:
S2 = S1b − X = (Sb − X)b − X = Sb² − (1 + b)X.
После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна: 
S3 = Sb³ - (1-b+b²)X = Sb³ - · X
После четвертой выплаты сумма оставшегося долга равна:
S4 =  - (1 + b +b² + b³)X =  -  · X
По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому  -  · X = 0.
Потом выражаешь из этого выражения X  и при S = 6902000 и а = 12,5, получаем: b = 1,125 получается: 
X =  рублей

a) Применим замену функции косинуса на тангенс:

cos(α) = 1/(+-√(1 + tg²(α)). Так как tg(α) = π/4, то знак корня положителен.

ответ: 2cos²(α) + 1 = (2/(1 + (π²/16))) + 1 = (48 + π²)/(16 + π²).

Если нужно цифровое значение, то это примерно 2,237.

б) Заменим cos²(x) = 1 - sin²(x).

Получаем sin²(x) - 2cos²(x) = sin²(x) - 2(1 - sin²(x)) = 3sin²(x) - 2.

Подставим значение sin(x) = -0,4 = -2/5.

Получаем 3*(4/25) - 2 = (12 - 50)25 = -38/25.

в) Числитель и знаменатель разделим на cos(α).

Получаем (6tg(α) - 2)/(tg(α) - 1) = (6*3 - 2)/(3 - 1) = 16/2 = 8.