Решить! преобразуйте в смешанное число дробь: 1) 7/3 2) 30/70 3) 12/5 4) 25/9

2-я дробь правильная - её не нужно переводить в смешанное число.

Пусть число, прочитанное по часовой стрелке с позиции a1, делится  на 27:

N1 = {a1a2a3...a666}

Рассмотрим натуральное число, прочитанное с позиции a2 по часовой стрелке:

N2 = {a2a3a4...a666a1}

Это число может быть получено из числа {a1a2a3...a666} простым преобразованием:

N2 = 10 * (N1 - a1 * 10^665) + a1 =  10 * N1 - a1*( 10^666  -1 )

Заметим, что число: 10^666  -1 состоит из 666 девяток, а значит может быть представлено в виде:  9*1111111 (всего 666 единиц).

Поскольку сумма цифр числа: 1111111 (всего 666 единиц) равна 666, то есть делится на 3, то по признаку делимости на 3: 1111111 (666 единиц) делиться на 3.

Таким образом: 10^666  -1  делится на 27, при этом N1 также делиться на 27, а значит N2 делится на 27.

Как видим, если сместить кратное 27 число на 1 позицию, то полученное число тоже будет делиться на 27, иначе говоря, двигая поочередно данное число по 1 позиции, убеждаемся, что прочитанное по часовой стрелке число с любого места, тоже будет делиться на 27.

Что и требовалось доказать.

P.S можно было оформить по методу мат. индукции, но было лень.

11-9=2 ч двигался пассажирский, когда выехал скорый

54*2=108 км он за это время

72-54=18 км/ч скорость сближения поездов

108/18=6 часов до встречи

6*72=432 км от станции пассажирскому поезду надо будет пропустить скорый



Необходимо 143 метра разделить на 20 отрезков

для этого метры нужно перевести в сантиметры

1 м=100 см ⇒ 143 м=14 300 см

14 300:20=715 (см) - в каждом отрезке.

715:55=13 (ш.) - пройдёт девочка.
В условии задачи сказано, что шаги мальчика число целое (а так как шаг девочки меньше шага мальчика) ⇒
715:12=не целое число. 
715:11=65 (см)



715 = 5·13·11, 65 = 5·13. НОК (65, Х) = 5·13·11.

5 и 13 входят в разложение числа 65 и 715. Для нахождения НОК берут разложение первого числа и дописывают те множители, которых не хватает из разложения второго числа Х.

Значит, длина шага девочки может быть:

1) Х = 11 см, что невозможно (сильно маленький шаг).

2) Х = 5·13·11 = 715 (см), что также невожможно (слишком большой шаг).

3) Х = 5·11 = 55 (см) – подходит.

4) Х = 13·11 = 143 (см) - что также невожможно (слишком большой шаг).

ответ: 55 см.

Пусть в книге x страниц. Для нумерации первых девяти страниц нужно 9 цифр (от 1 до 9 включительно) . Следующие страницы нумеруются двузначными числами, их 90. Значит, потребуется 2 х 90 = 180 цифр. То есть для первых 99 страниц, пронумерованных однозначными и двузначными числами, потребуется 9 + 180 = 189 цифр. Следующие страницы нумеруются трехзначными числами. Этих чисел будет (x – 99), а для их нумерации потребуется 3 х (x – 99) цифр. Значит, для нумерации всех страниц книги потребуется 189 + 3 х (x – 99) страниц. Составим и решим уравнение: 
189 + 3 х (x – 99) = 1392 
180 + 3x – 297 = 1392 
3x = 1392 – 180 + 207 
3x = 1689 – 189 
3x = 1500 
x = 500 
ответ: в книге 500 страниц.