Шрина 5м25см, длина 3м25см.явыложить пол плиткой.каков наибольший размер плитки

525 = 5*5*7*3  

325 = 5*5*13  

берем все те, которые есть и в первом, и во втором: 5*5 = 25см = длина = ширина плитки (наибольшая)  

Оставшиеся множители покажут, сколько надо плиток: 7*3*13 = 273 шт.

11. Пусть высоты АА1, ВВ1 и СС1 непрямоугольного треугольника ABC (или их продолжения) пересекаются в точке Н. Доказать, что АН • НА1=ВН • НВ1=СН • НС1. Решение. Если рассмотреть остроугольный треугольник ABC с высотами АА1и ВВ1 , пересекающиеся в точке Н, то видно треугольники АНВ1 и ВНА1 подобны по двум углам (∠АНВ1=∠ВНА1, ∠АВ1Н=∠ВА1Н=90), поэтому АН/ВН=НВ1/НА1. Отсюда следует, что АН • НА1=ВН • НВ1. Аналогично доказывается, что ВН • НВ1=СН • НС1. 12. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами АВ=с, АС=b и биссектрисой АА1. Обозначим буквой F точку пересечения прямой, проходящей через точку А1 и перпендикулярной к АА1, с большей (точнее, не меньшей) из сторон АВ и АС. Исходя из признака равенства треугольников по 2 сторонам и биссектрисе, проведенным из одной вершины и по теореме о биссектрисе треугольника: AF=2bc/(b+c). Следовательно, АА1=2bc/(b+c)*cos (A/2). Утверждение доказано

Пусть в треугольниках АВС и А1В1С1 с биссектрисами АД и А1Д1 выполнены равенства: АВ/А1В1=АС/А1С1=АД/А1Д1. Докажем, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны. Рассмотрим треугольник А2В2С2 с биссектрисой А2Д2, у которого ∠А2=∠А, ∠В2=В, А2С2=А1С1. Треугольники А2В2С2 и АВС подобны по двум углам, поэтому АВ/А2В2=АС/А1С1=АД/А2Д2 (поскольку А2С2=А1С1). Сопоставляя эти равенства с предыдущими, получим А1В1=А2В2, А1Д1=А2Д2. Т.к. кроме того и А1С1=А2С2, то треугольники А1В1С1 и А2В2С2 равны по двум сторонам и биссектрисе, проведенным из одной вершины. Но треугольник А2В2С2 подобен АВС, тогда и треугольник А1В1С1 подобен АВС, что и требовалось доказать.