Исследовать на экстремум функцию y=x^4-8x^2

Дано: y = x⁴ - 8*x²

Исследование:

1. Область определения: D(y)= R, X∈(-∞;+∞)

2. Непрерывная. Гладкая. Вертикальных асимптот - нет

3.Поведение на бесконечности. Y(-∞)= +∞, Y(+∞)= +∞. -

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x)=0.

Применим метод подстановки. Z = x².    z² + -8*z = 0

Нули функции: x1=-2,83, x2= x3 = 0,  x4=2,83

5. Интервалы знакопостоянства.

Положительна: Y(x) ≥0 - X∈(-∞;-2.83]∪[2.83;+∞)

отрицательна: Y(x)≤0 -X∈[-2.83;2.83] .

6. Проверка на чётность. Все степени при Х: 4, 2, 0 - чётные.

Функция чётная: Y(-x) = Y(x)

7. Поиск экстремумов по первой производной.  

y'(x) = 4*x³ - 16*x = 4*x*(x² - 4) = 4*x*(x-2)*(x+2) = 0

Корни производной - точки экстремумов: x₅=-2, x₆ = 0, x₇ = 2.

8. Локальные экстремумы.

Минимумы (два)  при x₅ = x₇ = -2.   Ymin(-2) = -16 - ответ,

Максимум (один) при х₆ = 0.  Ymax(0) = 0 - ответ

Дополнительно (пригодится)

Точки перегиба в корнях второй производной.

y"(x) = 12*x² - 16 = x² - 4/3

x₈ = -√(4/3) = - 1.15, x₉ = 1.15

График функции и шаблон для описания - в приложении.

1)Древние люди охотились на животный, тем самым погубив их. 2) Они возникали путем скотоводства и земледелия. 3)Потому, что чтобы создать поля, огороды и сады, люди, вырубали леса, распахивали степи, осушали болота. 4)Когда люди заселяли новые земли начали исчезать леса, перестали существовать уникальные виды растений и животных 5)Человек начал использовать ядохимикаты для борьбы с вредителями и сорняками. Это привело к загрязнению почвы. 7) 1. Сохронить многообразие живого на планете 2.Бороться с уничтожением лесов 3.Остановить наступление пустынь. 4.Защитить планету от всех видов загрязнений.

Повествование.

Целью повествование вообще и здесь является рассказ о последовательности событий, состояниях и действиях. В рассказе мы узнаем о периоде цветения лотоса и эмоциях  его наблюдающих людей.

Описание лотоса:  

Изящными очертаниями белых или нежно-розовых лепестков, характерным  шелестом листьев лотос производит неизгладимое впечатление.

Лотос — друг солнца,/чудесный цветок чарует зрителей,/ листья его, как зонтики,  

Продолжение.

Когда все цветы увяли и праздник кончился, люди вернулись  к своим делам и заботам. Кто-то помнил о лотосах и нес в себе его чистоту, кто-то ругал судьбу и клял людей. И таких было много. Над прудами сгустились тучи, полил дождь. Он шел много дней и скрывал солнце. Вдруг, в самой середине пруда появился розоватый бутон лотоса. "Почему он так поздно?" - думали одни. "Солнце помнит о нас!" - верили другие. Но несколько дней, а бутон все не раскрывался. Тогда люди собрались у пруда и стали просить у неба прощения за дурные слова и мысли. Бутон дрогнул и раскрылся. А в небе, разгоняя хмурые тучи, появилось солнце. Храните чистоту в своих душах и помыслах!