Докажите, что если расстояние между любыми двумя точками множества м на прямой больше единицы, то множество м не более, чем счетное​

Разобьем прямую на отрезки длины 1 целыми числами (по сути, возьмем числовую ось). Обозначим это множество A.

Т.к. расстояние между любыми двумя точками множества М на прямой больше единицы, то каждый отрезок содержит не более одной точки множества М. Пусть множество - множество отрезков, содержащих точку множества М.

Поставим каждому отрезку в соответствие число, являющееся его левым концом. Тогда множество A счетно. А значит любое его подмножество счетно. Значит B счетно.

Поставим в соответствие каждой точке множества M отрезок из B, содержащий эту точку. Тогда между M и B есть биекция, а тогда М не более, чем счетное​.

1. в конце xiii — начале xiv в. на руси начинается процесс преодоления феодальной раздробленности, возникают предпосылки для образования централизованного государства. в отличие от западной европы, на руси этот процесс имел ряд особенностей: > во-первых, монголо-татарское нашествие прервало наметившиеся в xiii в. объединительные процессы. борьба за свержение монгольского ига определяла само существование руси как самостоятельного государства. политические объединения отдельных княжеств в единое государство стали определяющими; > во-вторых, развитие городов и внутренней торговли не достигло такого уровня, как на западе, еще не возникли буржуазные отношения, а именно этот фактор стал главной социально- предпосылкой создания единых государств в западной европе; > в-третьих, единое государство на руси складывалось на основе многих народностей, и к началу xiv в. российское государство носило многонациональный характер; > в-четвертых, процесс объединения земель в единое государство был обусловлен необходимостью защиты от внешних врагов — татар, турок, поляков, немцев и т. д. можно выделить следующие этапы образования единого российского государства: > первый этап — конец xiii — 80-е гг. xiv в. — хозяйственный подъем в землях, возвышение московского княжества и начало объединения земель вокруг москвы; > второй этап — 80-е гг. xiv — вторая четверть xv в. — дальнейшее объединение земель вокруг москвы, борьба великого московского князя с московскими удельными князьями; > третий этап — вторая половина xv — начало xvi в. — образование единого государства.

в традиции народа было издавна принято закатывать пир горой. удалая, весёлая масленица издавна считалась одним из  любимейших зимних праздников. на  масленичную неделю обязательно было принято всех потчевать блинами  — символом восходящего солнца. чтобы рожь и  лён росли высокими (долгими), молодые девушки и  женщины старались как можно дальше прокатиться с  ледяной горы. а  воскресенье недели называли прощёным  — в  это время обычай предполагал поцелуи и  просьбы о  прощении. в  этот  же день сжигали чучело зимы, а  масленицу (ее роль исполняла молодая девушка) с  прибаутками и  улюлюканьем вывозили на  край села, где и  провожали   — вываливали в  снег.

в день весеннего равноденствия приходило время для празднования веснянок. пеклось обрядовое печенье в  форме птиц-жаворонков, которые своим "кликом" должны были призывать весну-красну. дети пели особые песни-заклички, а  молодёжь мастерила глиняные и  деревянные свистульки. в  рамках традиций в  этот день из  берёзовых веток делали куклу веснянки, которую затем носили по  деревне, плели венки, и  устраивали ритуальные трапезы.

а затем солнышко постепенно катилось к  лету… в  традиции славян было отмечать в  день летнего солнцестояния праздник ивана купалы. среди обрядов в  честь этого праздника значилось распевание песен во  славу божества плодородия, плетение венков и  прыжки через костёр. а смелые юноши отправлялись в  лес, чтобы найти огненный цветок папоротника. традиция этого праздника включала в  себя также добывание живого огня при трения сухих палочек.

а зимой, после зимнего солнцеворота, когда день начинал постепенно прибывать на  "воробьиный скок", приходило время для чествования коляды. в  рамках традиций народа в эту ночь не  спали, а  облачались в  забавные звериные маски и  ходили по дворам  — колядовали. дети в  эту ночь пели особые песни, за  исполнение которых их  угощали сладостями. а  подростки катали в  гору огненные колёса, приговаривая: "в гору катись, с  весной воротись". таким образом, весь год являл собой коловорот традиций, обрядов и  обычаев, где каждой примете и  явлению было своё место.