Решите sin^8(2pi x)+cos^8(2pi x)=41/128

Пошаговое объяснение:

Решение на картинках

Давай решим данный уравнение пошагово.

1. Начнем с того, что представим sin^8(2pi x) и cos^8(2pi x) в виде (sin^2(2pi x))^4 и (cos^2(2pi x))^4 соответственно. Такое представление позволит нам использовать тригонометрические тождества и упростить уравнение.

2. Теперь заметим, что sin^2(2pi x) + cos^2(2pi x) = 1, так как это общепринятая тригонометрическая идентичность. Возведем в четвертую степень обе части этого равенства:

(sin^2(2pi x) + cos^2(2pi x))^4 = 1^4

(sin^2(2pi x))^4 + 4*(sin^2(2pi x))^3*(cos^2(2pi x)) + 6*(sin^2(2pi x))^2*(cos^2(2pi x))^2 + 4*(sin^2(2pi x))*(cos^2(2pi x))^3 + (cos^2(2pi x))^4 = 1

3. Заменим sin^8(2pi x) и cos^8(2pi x) в исходном уравнении на полученное выражение:

(sin^2(2pi x))^4 + (cos^2(2pi x))^4 = 41/128

4. Теперь имеем квадратное уравнение относительно sin^2(2pi x). Пусть sin^2(2pi x) = t, тогда уравнение примет вид:

t^4 + (1 - t)^4 = 41/128

5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

t^4 + (1 - 4t + 6t^2 - 4t^3 + t^4) = 41/128

6t^4 - 4t^3 + 6t^2 - 4t + 1 = 41/128

6. Умножим обе части уравнения на 128, чтобы избавиться от дроби:

768t^4 - 512t^3 + 768t^2 - 512t + 128 = 41

7. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и упростим:

768t^4 - 512t^3 + 768t^2 - 512t + 87 = 0

8. Мы получили квадратное уравнение относительно t. Решим его, например, с помощью метода дискриминанта. Проверим, есть ли корни:

Для удобства обозначим a = 768, b = -512, c = 768, d = -512, e = 87.

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-512)^2 - 4*768*87 = 262144 - 268288 = -6144.

D < 0, значит, у уравнения нет действительных корней.

9. Вернемся к исходному уравнению и сделаем вывод: sin^8(2pi x) + cos^8(2pi x) = 41/128 не имеет решений в действительных числах.