Последняя цифра ​

Последняя цифра 2016 а первая 2017

Существует

Пошаговое объяснение:

На самом деле такое число найдётся для любой натуральной степени .

Я утверждаю, что для всех k найдётся число, состоящее из k цифр, не содержащее нулей в десятичной записи и делящееся на .

Доказываем по индукции.

База индукции. Для k = 1 подходит .

Индукционный переход. Пусть длина числа равна k, десятичная запись этого числа не содержит нулей. Припишем к этому числу слева ненулевую цифру a и потребуем, чтобы получившееся число делилось на .

Получившееся число равно , оно будет делиться на , если  делится на 5.

при делении на 5 может давать остатки 1, 2, 3 и 4; n может давать любые остатки от 0 до 4. Ниже в таблице я явно выписываю, какие можно взять a для каждой комбинации остатков. Например, если n даёт остаток 3 при делении на 5; даёт остаток 4 при делении на 2, то можно взять a = 3: тогда даёт такой же остаток при делении на 5, что и .

Таким образом, если для k такое число найдётся, то и для k + 1, а значит, и для всех k, в том числе и для k = 1987.

Вот, например, числа, построенные для k от 1 до 20:

5 25 125 3125 53125 453125 4453125 14453125 314453125 2314453125 22314453125 122314453125 4122314453125 44122314453125 444122314453125 4444122314453125 54444122314453125 254444122314453125 1254444122314453125 21254444122314453125

Например, число 21254444122314453125 делится на и не содержит нулей :)

Крылов дойдет до конца аллеи за 600/24=25 мин, а Пушкин за 10 мин.
За 25 мин Пушкин пройдет аллею 2 раза и еще половину аллеи.
Сначала они идут навстречу друг другу. Скорость сближения 84 м/мин.
Первый раз они встретятся через 600/84 = 50/7 мин = 7 1/7 мин.
За 600/60 = 10 мин Пушкин пройдет всю аллею, а Крылов 24*10 = 240 м.
Теперь Пушкин догоняет Крылова со скоростью 60-24 = 36 м/мин.
Начальный разрыв в 240 м он преодолеет за 240/36 = 6 2/3 мин.
Тут они встречаются 2-ой раз через 16 2/3 мин от старта.
Через 20 мин Пушкин дойдет до конца, а Крылов пройдет 480 м.
Теперь они опять идут навстречу со скоростью 84 м/мин.
Начальное расстояние между ними 600-480 = 120 м.
Они встретятся 3 раз через 20 + 120/84 = 10/7 = 21 3/7 мин. от старта.
Через 25 мин Крылов наконец-то дойдет до конца аллеи первый раз и пойдет обратно. Пушкин в этот момент находится на середине аллеи и удаляется от него.
Через 30 мин Пушкин дойдет до конца аллеи 3-ий раз и повернет.
Крылов к этому моменту пройдет 24*5 = 120 м, и расстояние между ними станет 600-120 = 480 м.
Тут они опять сближаются со скоростью 84 м/мин и встретятся 4-ый раз через 30 + 480/84 = 40/7 = 35 5/7 мин. от старта.
Через 40 мин Пушкин пройдет аллею в 4 раз и повернет обратно, а Крылов пройдет 15 мин от 2 раза, то есть 15*24 = 360 м.
И снова они сближаются, начальное расстояние 600 - 360 = 240 м.
Встретятся они 5-ый раз через 40 + 240/84 = 42 6/7 мин от старта.
Через 50 мин Крылов дойдет до конца аллеи 2 раз, а Пушкин - 5 раз.
Тут они оба поворачивают и сближаются со скоростью 84 м/мин с начального расстояния 600 м.
6-ой раз они встретятся через 50 + 600/84 = 57 1/7 мин.
Всё!
ответ: они встретятся 6 раз.