Мистер Фокс выписал в ряд 17 натуральных чисел так, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была равна 16. На первом месте стоит число 2, а на последнем -— число 3. Какое число стоит в центре ряда?

В центре ряда стоит число 11.

- - - - - - - - - - - - - - - -  

2+11+3=2+11=13+3=16

- - - - - - - - - - - - - - - -  

2 11 3 2 11 3 2 11 3 2 11 3 2 11 3 2.

- - - - - - - - - - - - - - - -

По другому я не знаю.

Презентация проекта.

Презентация проекта проходила в кабинете информатики с использованием интерактивной доски. Итоги проекта подводились и обсуждались в течение всей работы над проектом. По окончанию каждого этапа был проведён анализ полученных результатов. Участники проекта были информированы о ходе проекта.

Ожидаемый результат:

- повышение уровня знаний учащихся в области искусства и истории;

-проявление индивидуальности, конкурентно повышение культурного уровня обучающихся;

-обеспечение занятости учащихся во внеурочное время, удовлетворение их потребностей в занятиях по интересам и самовыражении.

Одним из наиболее мощных методов интегрирования является замена переменной в интеграле. Поясним суть этого метода. Пусть F'(x)=f(x), тогда

\int f(x)\,dx= \int F'(x)\,dx= \int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C.

Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство d\bigl(F(x)\bigr)=F'(x)\,dx= f(x)\,dx остается справедливым и в случае, когда {x} — промежуточный аргумент, т.е. x=\varphi(t). Это значит, что формула \textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C} верна и при x=\varphi(t). Таким образом,

\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,d\bigl(\varphi(t)\bigr)= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C, или \int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C.

Итак, если F(t) является первообразной для f(x) на промежутке {X}, а x=\varphi(t) — дифференцируемая на промежутке {T} функция, значения которой принадлежат {X}, то F\bigl(\varphi(t)\bigr) — первообразная для f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t),~t\in T, и, следовательно,

\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= \int f(x)\,dx\,.

Эта формула позволяет свести вычисление интеграла \textstyle{\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt} к вычислению интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx}. При этом мы подставляем вместо \varphi(t) переменную {x}, а вместо \varphi'(t)\,dt дифференциал этой переменной, т. е. dx. Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx} надо снова заменить {x} на \varphi(t).

Пример 1. Вычислим \int\cos2t\,dt.

Решение. Введем новую переменную {x}, положив 2t=x. Тогда 2\,dt=dx,~dt=\frac{1}{2}\,dx и, следовательно,

\int\cos2t\,dt= \int\cos{x}\,\frac{1}{2}\,dx= \frac{1}{2}\int\cos{x}\,dx= \frac{1}{2}\sin{x}+C= \frac{1}{2}\sin2t+C.

Замечание. Вычисление короче записывают так:

\int\cos2t\,dt= \frac{1}{2}\int\cos2t\,d(2t)= \frac{1}{2}\sin2t+C.

Пошаговое объяснение: