Решите задачи: 1. Вычислите площадь полной поверхности цилиндра, если его радиус R=7 cм, а длина образующей 2см. 2. Вычислите площадь осевого сечения, площадь полной поверхности и объём конуса, если его радиус равен 7см, а образующая 25см. 3. Площадь сферы равна π, найдите ее объём. 4. Найдите радиус шара, если расстояние от центра до плоскости сечения равно , а радиус сечения . 5. Площадь осевого сечения цилиндра 100 см2, а площадь полной поверхности 150π, найдите объем цилиндра. 6. Равносторонний треугольник со стороной 4 см, вращается вокруг своей высоты, найдите площадь полной поверхности и объем получившегося тела. 7. Как относятся объемы правильной четырехугольной пирамиды и конуса, описанного около пирамиды?

Даны три вершины: А(3; -3), В(-4; 3), С(1; 6).

1) Уравнение АD.

Так как прямая АД параллельна ВС, то её направляющий вектор сохраняется, как и у прямой ВС.

Вектор ВС: (1 - (-4); 6-3) = (5; 3).

Уравнение ВС: (x + 4)/5 = (y - 3)/3.

В общем виде: 3x - 5y + 27 = 0.

Подставив известные координаты точки А, получим уравнение АD.

Уравнение AD: (x - 3)/5 = (y + 3)/3.

В общем виде: 3x - 5y - 24 = 0.

2) Уравнение высоты ВК на сторону AD.

Прямая ВК перпендикулярна и АД и ВС.

У прямой, перпендикулярной к прямой ВС 3x - 5y + 27 = 0 в виде Ах + Ву + С = 0, коэффициенты А и В меняются на -В и А.

Уравнение ВК: 5х + 3у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты известной точки В(-4; 3): 5*(-4) + 3*3 + С = 0,  -20 + 9 + С = 0,  С = 11.

Уравнение ВК: 5х + 3у + 11 = 0.

3) Длина высоты ВК.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C| /√(A² + B²).

Подставим в формулу данные:

d =   |3·(-4) + (-5)·3 + (-24)|/ √(3² + (-5)²)  =   |-12 - 15 - 24|/ √(9 + 25)  =

=   51/ √34  =   3√34/ 2  ≈ 8.7464278.

4) Уравнение диагонали BD.

Так как эта диагональ проходит через точку О (это точка пересечения диагоналей и середина АС), то уравнение можно составить по двум точкам: В и О.

Находим координаты точки О = АС/2 =  (А(3; -3) + С(1; 6))/2 = (2; 1,5).

Вектор ВО = (2-(-4); 1,5-3)= (6; -1,5).

Уравнение ВО = ВД: (х + 4)/6 = (у - 3)/(-1,5) или в целых числах

(х + 4)/(-4) = (у - 3)/1. В общем виде х + 4у - 8 = 0.

5) Находим угловые коэффициенты прямых ВО и АО.

к(ВО) = -1,5/6 = -1/4 = -0,25.

к(АО) = (1,5-(-3))/(2-3) = 4,5/(-1) = -4,5.

угол между ними можно найти, используя формулу:

tg γ =   k1 - k2     

          1 + k1·k2.

Подставим данные: у:

tg γ =   -0,25 - (-4,5)        = 2.

            1 + (-0,25)*(-4,5)

Даны две прямые:

L1: (x+2)/-2=y-1/3=z-3/2 ,

L2: { 3x+4y+5z-26=0 ,

     {3x-3y-2z-5=0.

Найдем направляющий вектор второй прямой L2. заданной системой двух уравнений:  

{3x+4y+5z-26=0

{3x-3y-2z-5=0.

Находим направляющий вектор прямой L2 , для этого находим векторное произведение нормальных векторов двух плоскостей, задающих эту прямую.

Первый имеет координаты (3; 4; 5), второй (3; -3;–2).

Их векторное произведение равно:

i         j         k|       i        j

3        4        5|      3       4

3       -3       -2|      3      -3    = -8i + 15j  - 9k + 6j + 15i - 12k =

                                           = 7i + 21j – 21k.

Направляющий вектор прямой L2 это (7; 21; -21). или можно взять коллинеарный ему вектор (1; 3; -3), т.е. q2{1; 3; -3}.

Направляющий вектор прямой L1, заданной каноническим уравнением, равен q1{-2; 3; 2}, т. М1(-2; 1;-3) -точка лежащая на прямой L1 (это видно по условию задачи).

Вектор MM1{x+2; y-1; z-3} - проходящий через т.М1 на прямой и принадлежащий плоскости.

Векторы MM1, q1, q2 - компланарны, это значит что их смешанное произведение равно нулю.

x+2      y-1      z-3|      x+2      y-1

 -2        3           2|        -2        3

  1        3          -3|        1         3  = (x + 2)*(-9) + (y – 1)*3  + (z – 3)*(-6) – (y – 1)*6 – (x + 2)*6 – (z – 3)*3 =   -15x - 4y - 9z + 1 = 0                  

Определитель системы находим по треугольной схеме и, приведя подобные, приходим к уравнению плоскости (умножив на -1):  

15x + 4y+ 9z - 1=0.