На координатной прямой отмечены a и b. Отметьте на прямой какую нибудь точку x так, чтобы при этом выполнялись три условия: x-a>0, x-b>0 и a²x>0​

1)
у=3+2х-x²;
производная:
y ' = 2-2x;
2-2x=0; x = 1;
y(1)=3+2*1-1² = 4;
Функция не является монотонной.
Одна точка экстремума: x = 1; у=4; производная в этой точке меняет знак с + на - ; это точка максимума функции.
Функция возрастающая на интервале x є (-∞;1).
Функция убывающая на интервале x є (1; +∞).
строим график:
пересечение с осью OY:
3+2х-x²=0;
x1=-1; x2=3;
строим по точкам:
x= -2; y= -5;
x= -1; y= 0;
x= 0; y= 3;
x= 1; y= 4;
x= 2; y= 3;
x= 3; y= 0;
x= 4; y= -5;

2)
у=3х²-x³;
производная:
y ' = 6x -3x²;
6x -3x²=0; x1 = 0; x2 = 2;
y(0)= 3х²-x³ = 0; y(2)= 3*2²-2³ = 4;
Функция не является монотонной.
Две точки экстремума:
(0; 0) производная в этой точке меняет знак с - на + ; это точка локального минимума функции;
и (2; 4) производная в этой точке меняет знак с + на - ; это точка локального максимума функции.
Функция убывающая на интервале x є (-∞; 0) U (2; +∞).
Функция возрастающая на интервале x є (0; 2).
строим график:
пересечение с осью OY:
3х²-x³=0;
x1=0; x2=3;
строим по точкам:
x= -1; y= 4;
x= 0; y= 0;
x= 1; y= 2;
x= 2; y= 4;
x= 3; y= 0;

3)
у=6х+x³;
производная:
y ' = 3x²+6;
3x²+6 = 0; Нет корней.
производная всегда больше нуля.
Функция является монотонной.
Функция возрастающая на интервале x є (-∞; +∞).
строим график:
пересечение с осью OY:
6х+x³=0;
x=0;
строим по точкам:
x= -1; y= -7;
x= -0.75; y= -4.92;
x= -0.5; y= -3.13;
x= -0.25; y= -1.52;
x= 0; y= 0;
x= 0.25; y= 1.52;
x= 0.5; y= 3.13;
x= 0.75; y= 4.92;
x= 1; y= 7;

Пошаговое объяснение:

продифференцируем F(x)

F'(x) = 2/3 * 3x² - 4 * 2x + 6 = 2x² - 8x + 6 = f(x) => F(x) первообразная для f(x)

б) решим уравнение f(x) = 0

x² - 4x + 3 = 0

(x - 3)(x - 1) = 0

x₁ = 1; x₂ = 3 - экстремумы

F(-1) = -2/3 - 4 - 6 = -10 2/3 - наименьшее значение

F(1) = 2/3 - 4 + 6 = 2 2/3

F(3) = 18 - 36 + 18 = 0

F(4) = 128/3 - 64 + 24 = 2 2/3

г) F(x) = bx

2x³ - 12x² + 18x = 3bx

x(2x² - 12x + 18 - 3b) = 0

x₁ = 0 -первый корень

значит квадратный трехчлен должен иметь ровно один корень

для этого D = 0

D = 144 - 8(18 - 3b) = 0

18 - 3b = 144/8

18 - 3b = 18

3b = 0

b = 0

в) в приложении