ДСВ имеет геометрическое распределение. Математическое ожидание равно 2, 5. Вычислите дисперсию.

Пусть происходит серия независимых испытаний, в каждом из которых событие может появится с одной и той же вероятностью p. Тогда случайная величина X - количество испытаний до первого появления события, имеет геометрическое распределение вероятностей.

Она может принимать всевозможные целые значения от 0 (событие произошло в первом испытании) и больше (счетное число значений). Формула для вычисления соответствующих вероятностей легко выводится:

P(X=k)=qk⋅p,k=0,1,2,...,n,...

Для геометрического распределения известны готовые формулы для математического ожидания и дисперсии:

M(X)=

q

p

 

,D(X)=

q

p2

 

.

Ниже мы разберем несколько задач с решением, где встречается именно геометрическое распределение. Надо заметить, что гораздо чаще встречаются внешне похожие задачи (где важно число испытаний до первого успеха), но общее число испытаний ограничено (количество выниманий шаров, число патронов или выстрелов и т.п.), и формулы там будут несколько иные. Такие примеры вы найдете на странице Дискретные случайные величины.

1) Площадь основания (ромба) So = a²sin 60° = 36*√3/2 = 18√3 см².

Проекция высоты боковой грани на основание - это половина высоты h основания: (h/2) = asin 60°/2 = 6*√3/(2*2) = 3√3/2 см.

Так как угол наклона боковой грани к основанию равен 45 градусов, то высота H пирамиды равна (h/2).

Отсюда находим объём пирамиды:

V = (1/3)SoH = (1/3)*(18√3)*(3√3/2) = 27 см³.

2) Проекция бокового ребра на основание равна стороне основания.

Площадь основания равна: So = a²3√3/2 = 1*3√3/2 = 3√3/2.

Объём пирамиды V = (1/3)SoH. Отсюда находим высоту пирамиды: Н = 3V/So = 3*6/(3√3/2) = 4√3.

Тогда боковое ребро L = 4√3*√2 = 4√6.

f(0)=7,2 >0

f(1)=1-3,5-5+7,2=-0,3 <0

⇒

первый корень на [0;1]

Делим пополам

[0;0,5]  и [0,5;1]

f(0,5)=0,5^4-3,5*0,5^3-5*0,5^2+7,2 >0⇒

корень на отрезке  [0,5;1]

Снова делим пополам

[0,5;0,75]  и [0,75;1]

f(0,75)=0,75^4-3,5*0,75^3-5*0,75^2+7,2 >0⇒

корень на отрезке  [0,75;1]

Снова делим пополам

[0,75;0,875]  и [0,875;1]

f(0,875)=0,875^4-3,5*0,875^3-5*0,875^2+7,2 >0⇒

корень на отрезке  [0,875;1]

Снова делим пополам

[0,875;0,9375]  и [0,9375;1]

f(0,9375)=0,9375^4-3,5*0,9375^3-5*0,9375^2+7,2 >0⇒

корень на отрезке  [0,9375;1]

Снова делим пополам

[0,9375;0,96875]  и [0,96875;1]

f(0,96875)=0,9375^4-3,5*0,9375^3-5*0,9375^2+7,2 >0⇒

корень на отрезке  [0,96875;1]

Снова делим пополам

[0,96875;0,984375]  и [0,984375;1]

f(0,984375)=0,9375^4-3,5*0,9375^3-5*0,9375^2+7,2 <0⇒

корень на отрезке  [0,96875;0,984375]

x₁≈0,98

Аналогично,

f(4) <0

f(5) >0

второй корень на [4;5]

x₂≈4,5